Números naturales II.

Profundiza lo suficiente en cualquier cosa y encontrarás las matemáticas, Dean Schlicter.

Todo lo que se puede contar no necesariamente cuenta; todo lo que cuenta no necesariamente se puede contar,Albert Einstein.

Aritmética básica: Suma I. ¿Qué es? ¿Cómo funciona?

Las cuatro operaciones matemáticas básicas son: suma (+), resta (-), multiplicación (x) y división (:) . Para entender la suma, observa la siguiente ilustración.

Hay dos conjuntos o grupos de manzanas. Vamos a contarlos. Hay tres manzanas a la derecha y otras dos a la izquierda. ¿Cuántas manzanas tengo en total entonces? ¡Lo has adivinado! Tenemos cinco manzanas en total. Dicho de otro modo, tres más dos son cinco: 3 + 2 = 5. Tres y dos son los sumandos y cinco es el resultado de la suma.

Sumar dos números es como andar, desplazarse o saltar hacia la derecha en la recta numérica.

Sumar es combinar o juntar dos o más cosas (velas, lápices, juguetes, etc.) o números. Los números que se van a sumar son los sumandos y los resultados se denominan sumas: 2 + 4 = 6 ; 1 + 3 = 4; 2 + 3 = 5.

Adición II. Suma de 2 dígitos

Sumar números de dos dígitos no es tan complicado como parece o suena. En realidad, es bien sencillo. Simplemente sigue estas instrucciones al pie de la letra.      31 + 45 En primer lugar, alinea los números correctamente

   31
+ 45
------

A continuación, suma los dígitos de derecha a izquierda . Debes comenzar sumando las unidades o los números en la columna de las unidades (1, 5), coloca el resultado en la parte inferior de la columna de unidades y luego continua en la columna de “decenas” (3, 4). Recuerda que las decenas se escriben en la segunda columna. 31  + 45

   31
+ 45
------
   76

Sin embargo, ¿qué puedes hacer cuando la suma de la columna de las unidades es mayor que nueve? Digamos, por ejemplo, que quieres calcular 37 + 85, 7 + 5 (= 12) es mayor que 10 (12> 10).

Te llevas el uno a la siguiente columna de la izquierda (decenas) y escribes el dos en la parte inferior de la columna de unidades. Cuando los números suman más de diez, nos llevamos las decenas a la siguiente columna.

   37
+ 85
------
 122

Otra forma de pensar o resolver este problema es el siguiente. A. Redondea uno o ambos sumandos antes de sumar, así: 40 (37 + 3) + 85 = 125, y luego compensa el resultado. B. 125 - 3 = 122.

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Resta I.

La simplicidad consiste en restar lo obvio y añadir lo significativo, John Maeda.

¿Recuerdas la historia de Blancanieves? El cuento dice algo como: “Entonces, los siete enanitos fueron a cazar sin Blancanieves y una bruja malvada se le acercó. -Toma una manzana, dijo la bruja malvada. Y le entregó una manzana encantada o envenenada que le hizo quedarse profundamente dormida.”

Quizás, te estés preguntando: ¿Qué sentido tiene ese cuento de hadas en un artículo de mates? Sin embargo, resulta que las manzanas son esenciales para aprender a restar. Mira la siguiente ilustración y responde: ¿Cuántas manzanas tenemos?

¡Efectivamente! Tenemos 4 manzanas. Imaginemos que una bruja malvada ha envenenado una de estas sabrosas manzanas o un vil gusano se ha hecho un festín con una manzana. ¿Cuántas manzanas comestibles nos quedan?

Exactamente, nos quedan 4 - 1 = 3 manzanas comestibles. ¿Ves? Es realmente muy sencillo.

Veamos otro ejemplo. Tu mamá te ha comprado siete caramelos. Tu mejor amigo llega a tu casa y le ofreces tres. Tu compa come con un león pero trabaja como un cigarrón. ¿Cuántos caramelos te quedan? 7 - 3 = 4. Te quedan cuatro caramelos.

Imagina que tienes ocho huesos pero, en un breve descuido, tres perros te roban un hueso cada uno. ¿Cuántos huesos te quedan? 8 - 3 = 5 . Por supuesto, te quedan 5 huesos.

Si deseas sumar números, saltas, andas o te desplazas hacia adelante o hacia la derecha en la recta numérica. Por el contrario, si desea restar, saltas, andas o te desplazas hacia atrás o hacia la izquierda en la recta numérica tal como puedes ver en esta captura de pantalla.

Resta II. Resta de dos cifras.

Restar números de dos cifras no es muy difícil, pero requiere cierto cuidado. Lee y sigue estas instrucciones. Calculemos 45 - 31.      45 - 31 En primer lugar, alinea los números correctamente

  45
- 31
------

Y a continuación, resta los dígitos de derecha a izquierda . Tienes que empezar restando las unidades, los números en la columna de los “unos” (5, 1) y luego, pasar a restar los números en la columna de las “decenas” (4, 3).

  45
- 31
------
  14

Sin embargo, ¿qué sucede cuando no puedes restar? Todos sabemos que 7 es más grande que 5, ¿qué haces?

  85
- 37
------

Simplemente haz el “5” más grande tomando prestado o llevándote uno de la columna de las “decenas”. Esto se llama reagrupación y debe comprender que el número (85 = 70 + 15) sigue siendo el mismo. Es decir, al final 5 - 7 se convierte en 15 - 7 = 8.

Es como tener ochenta y cinco dólares. Tener ocho billetes de diez dólares más cinco billetes de un dólar es lo mismo que tener siete billetes de diez dólares más quince billetes de un dólar.

  85
- 37
------
  48

¡Ahora es tu turno! Calcula 45 - 32, 24 - 12, 87 - 43, 23 - 19, 93 - 28, etc.

Multiplicación. ¿Qué es? ¿Cómo funciona?

La multiplicación es, básicamente, una suma repetida de grupos iguales. Por ejemplo, 4 multiplicado por 3, 4 x 3 = 4 + 4 + 4 = 12, es igual a 12. Dicho de otro modo, el número o factor 4 se suma tres veces.

Observa la siguiente captura de pantalla. Tenemos tres grupos de cinco focas. Piensa en ellas todas juntas, como un “todo”, es decir, formando un único grupo. ¿Cuántas focas hay en total?

¡Efectivamente! Tenemos 15 focas. Matemáticamente expresamos esta idea como: 5 * 3 = 15.

Otra forma de entenderlo podría ser el siguiente. Imagina que tu familia (tu mamá, tu papá, tu hermana y tú -4-) estáis almorzando y cada uno de vosotros tiene una deliciosa porción de pizza frente a si. Ahora supón, por un momento, que cada miembro de tu familia invita a dos amigos diferentes.

¿Cómo podéis compartir el festín? Es fácil, ¿no? Simplemente divide cada porción en tres. Matemáticamente, podríamos decir que 4 * 3 = 12 porciones de pizza. Si os habéis quedado con hambre y queréis una pizza entera para cada uno, tendréis que pedir 12 pizzas porque sois doce. Es otra forma de ver el mismo problema.

Un múltiplo es el resultado de multiplicar un número por un entero. En nuestro ejemplo, 12 es un múltiplo de 3. Una tabla de multiplicar es una lista de múltiplos de un número.

Multiplicación II. Tablas de multiplicar.

¿Tiene problemas para memorizar las tablas de multiplicar? ¡No te preocupes amigo mío, estás en el lugar adecuado y este es el momento perfecto para aprenderlas!

La tabla de multiplicar del 0. Cualquier cosa multiplicada por cero es cero.

La tabla de multiplicar del 1. Cualquier cosa multiplicada por 1 da la misma cosa o es ella misma. 1x0=0, 1x1=1, 1x2=2, 1x3=3, 1x4=4, 1x5=5, 1x6=6, 1x7=7, 1x8=8, 1x9=9, 1x10=10.

La tabla de multiplicar del 2. Cualquier número multiplicado por dos es el doble del número y es par, 3 * 2 = 3 + 3 = 6. 2x0=0, 2x1=2, 2x2=4, 2x3=6, 2x4=8, 2x5=10, 2x6=12, 2x7=14, 2x8=16, 2x9=18, 2x10=20.

Las tablas de multiplicar del 3 y del 4. Debes aprender a contar de tres en tres y de cuatro en cuatro, respectivamente.

3x0=0, 3x1=3, 3x2=6, 3x3=9, 3x4=12, 3x5=15, 3x6=18, 3x7=21, 3x8=24, 3x9=27, 3x10=30.

4x0=0, 4x1=4, 4x2=8, 4x3=12, 4x4=16, 4x5=20, 4x6=24, 4x7=28, 4x8=32, 4x9=36, 4x10=40.

La tabla de multiplicar del 5. Cualquier número multiplicado por 5 va a terminar en cero o en cinco. 5x0=0, 5x1=5, 5x2=10, 5x3=15, 5x4=20, 5x5=25, 5x6=30, 5x7=35, 5x8=40, 5x9=45, 5x10=50.

La tabla de multiplicar del 10. Cualquier cosa multiplicada por diez es ella misma y añade un cero a su derecha. 10x0=0, 10x1=10, 10x2=20, 10x3=30, 10x4=40, 10x5=50, 10x6=60, 10x7=70, 10x8=80, 10x9=90, 10x10=100.

Veamos la parte más difícil. Cada dedo representa un número. Tu pulgar es el seis, el dedo índice es el siete, y así sucesivamente. Vamos a multiplicar siete por siete. Entonces, el dedo índice (el dedo número siete) de una mano tiene que tocar el dedo número siete de la otra mano. Estos dedos (ambos dedos índices) con todos los dedos por debajo de ellos (ambos pulgares) son decenas, por lo que tenemos 40 (dos dedos índices y dos pulgares).

A continuación, multiplica los dedos restantes de una mano por los dedos restantes de la otra mano: 3 * 3 = 9, por lo que 7 * 7 = 40 (cuatro dedos índices y cuatro pulgares) + 9 = 49.

Prueba con 8 * 7. El dedo medio o corazón de una mano (8) debe tocar el dedo índice de la otra mano (7). Estos dedos y todos los dedos por debajo de ellos son decenas, y por lo tanto tenemos 50 (dos pulgares, dos dedos índices y un dedo medio o corazón). Luego, multiplicamos los dedos restantes de la primera mano por los dedos restantes de la segunda mano: 2 * 3 = 6. Es muy fácil, ¿verdad? 8 * 7 = 50 + 6 = 56.

Multiplicación III. Multiplicación de 2 dígitos.

Multiplicar números de dos dígitos es un proceso muy sencillo, como te voy a ilustrar ahora mismo. Calculemos 31 * 45. En primer lugar, debes alinear los números correctamente.

   31
* 45
------
Recuerda: 45 = 40 + 5 y, en consecuencia, 31 * 45 = 31 * (40 + 5) = 31 * 40 + 31 * 5. Entonces, calculamos 31 * 5:

   31
* 45
------
 155

A continuación, calculamos 31 * 40. Simplemente multiplica 31 por 4 y añade un 0 al resultado final (31 * 40 = 31 * 4 * 10).

    31
*  45
------
  155
1240   

Finalmente, sumamos ambos resultados parciales: 31 * 5 y 31 * 40 y obtenemos 31 * 45.

       31
*     45
---------
     155
+ 1240  
---------
   1395

Así es, 31 * 45 = 1395. Ahora, podrías practicar estas multiplicaciones: 34 * 43, 74 * 49, 14 * 58 y 28 * 76.

División. ¿Qué es? ¿Cómo funciona?

Imagina que tenemos quince deliciosos huesos 15 y tres perros hambrientos .

¿Cómo compartimos estos huesos? Por supuesto, queremos ser justos; a todos los perros vamos a darles “las mismas oportunidades”, quiero decir, la misma cantidad de huesos. ¿Cuál es la respuesta correcta?

¡Lo has adivinado! Debes dar cinco huesos a cada perro. Matemáticamente, lo expresamos como 15 ÷ 3 = 5.

La division es compartir, dividir o repartir varias cosas en partes iguales. Siempre hay otra forma de pensar sobre el mismo problema. Tienes tres perros y quieres darles cinco huesos a cada uno. ¿Cuántos huesos necesitas? ¡Efectivamente! Necesitas 3 * 5 = 15 huesos. Dicho con otras palabras, la división es la operación inversa a la multiplicación.

División II. Resta repetida. Resto.

Nuestra división original 15 ÷ 5 = 3 se puede reinterpretar como una resta repetida. Si estás en la casilla quince, puedes restar (o puedes saltar hacia atrás o hacia la izquierda en la recta numérica) 3 veces saltando de cinco en cinco.

Conviene definir ahora algunos conceptos. El dividendo es el número que se divide, reparte o comparte; en nuestro ejemplo, 15. El divisor es el número que lo divide; el número de individuos, animales, objetos, etc. en el que quieres repartir (3) el dividendo. El cociente es el resultado, es decir, la cantidad de veces que el divisor está contenido en el dividendo (5).

A veces las cosas no son tan fáciles. Imagínate un problema relativamente similar. Hay dieciséis huesos, solo uno más 16 y tenemos tres perros hambrientos .

¿Cómo los dividimos? La única solución justa es darle a cada perro cinco huesos y todavía nos quedará un hueso. El resto es lo que queda sin repartir o que nos sobra después de dividir en grupos o compartir equitativamente.

Siempre ocurre que: Dividendo = Divisor * Cociente + Resto. En nuestro ejemplo, 16 = 3 * 5 + 1.

División III. División de 2 o 3 cifras

¡Veamos cómo se hacen las divisiones por números de dos o tres cifras! Calculemos 525 ÷ 3.

• Vayamos por partes, primero reescribimos 525 ÷ 3 como:
• Observamos el primer dígito del dividendo (5): 5 ÷ 3 da 1 y el resto es 2. Dicho con otras palabras, ¿cuántas veces cabe 3 en 5? La respuesta es 1, por lo que ponemos el 1 justo encima de 5. 1 * 3 = 3, y hacemos la resta 5 - 3 = 2 para obtener el resto.
• Pasemos al segundo dígito del dividendo (2). Toma el ascensor y arrástralo hacia abajo. Dividimos el número que obtuvimos (22), por el divisor (3) y así: 22 ÷ 3 = 7 y el resto es 1: 22-21 (= 3 * 7) = 1.
• Vayamos al último dígito del dividendo (5). Toma el ascensor y bájalo de nuevo. Al hacerlo, obtenemos 15. Dividimos este número por el divisor: 15 ÷ 3 = 5 y no hay resto, ¡así que hemos acabado!

Por lo tanto, 525 ÷ 3 = 175. También calculamos 276 ÷ 13 = 21 y resto 3 y 976 ÷ 21 = 46 y resto 10. Observa que 175 * 3 = 515, 13 * 21 + 3 = 276 y 46 * 21 + 10 = 976 .