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Matemáticas elementales

Divisores

El divisor de un número dado “a” es otro que lo divide de manera exacta, es decir, sin resto.

¿Cómo encontramos todos los divisores de un número dado? Usaremos Maxima, WolframAlpha y Python. Maxima es un sistema de álgebra computacional libre (gratuito), bastante completo y multiplataforma. Se puede instalar en Windows, macOS y Linux. Es potente, rápido y muy fácil de usar; se trata, ciertamente, de una aplicación ideal para estudiantes, profesores e investigadores.

Recuerda que los múltiplos de 2 son todos los pares y terminan en 0, 2, 4, 6 o en 8. En los múltiplos de 3 y 9, si sumamos todas sus cifras, también obtenemos un múltiplo de 3 y 9 respectivamente. Los múltiplos de 5 terminan en 0 ó 5 y los de 10, en 0. Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de todos sus dígitos también es un múltiplo de 3. En los múltiplos de 11 si sumamos los dígitos pares y se los restamos a la suma de los dígitos impares obtenemos otro múltiplo de 11.

Simplemente escribe en Maxima una expresión y presiona simultáneamente las teclas Mayúscula e INTRO. Por ejemplo, la orden divisor (24); devuelve los divisores de 24. Obtendrás 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

También puedes realizar cálculos básicos con Maxima, como 3*7 (21), 6**2 (62=36), sqrt(16); (=4). Cálculo de divisores con Maxima

Cálculo de divisores con Maxima

Hagámoslo con Python.

Python es un lenguaje de programación de alto nivel, multiparadigma, de proposito general, interpretado y fácil de aprender. Está disponible en una amplia variedad de plataformas (Linux, Windows y macOS) y viene preinstalado en la mayoría de las distribuciones de Linux.

user@pc:~$ python
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) 
[GCC 10.2.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import divisors # Necesitamos importar la biblioteca SymPy.
>>> print(divisors(24)) # Devuelve todos los divisores de n
[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24]
>>> print(divisors(124)) 
[1, 2, 4, 31, 62, 124]

Números primos

Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos, el mismo y el número uno.

El comando de Maxima primep() es útil para comprobar si un número entero es primo o no, por ejemplo, 7 (primep(7); devuelve true, verdadero) es un número primo, pero 36 no lo es (primep (36); devuelve false, falso). El comando next_prime(n) devuelve el siguiente número primo mayor o igual an n.

WolframAlpha utiliza software de procesamiento de lenguaje natural (NPL), para comprender consultas en inglés como las siguientes: is 7 a prime number? (¿es 7 un número primo?), primes between 1 and 100 (números primos entre 1 y 100), divisors of 48 (divisores de 48), etc. Cálculo de números primos en WolframAlpha y Maxima

Cálculo de números primos en WolframAlpha y Maxima

user@pc:~$ python
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) [GCC 10.2.0] on linux Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. 
>>> from sympy import primerange, prime, isprime # Necesitamos importar las funciones primerange, prime e isprime de la biblioteca SymPy. 
>>> print(list(primerange(0, 36))) # Devuelve todos los números primos en el rango [0, 36): 
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31]

1 no es un número primo. Un número primo es un entero positivo que tiene exactamente dos divisores positivos. Sin embargo, 1 solo tiene un divisor positivo, el mismo, por lo que no se considera primo.

>>> prime(5) # prime(n) devuelve el enésimo número primo, con los primos indexados como prime(1) = 2, prime(2) = 3, prime(5) = 
11
>>> isprime(17) # isprime(n) comprueba si n es primo
True
>>> isprime(32) 
False

Factorización en números primos

Descomponer un número en factores primos o la factorización de un número en números primos es escribir o expresar dicho número como producto de números primos.

Observa que factor(180); factor(420); o factor(54); devuelven la factorización en números primos de 180, 420 y 54 respectivamente en Maxima y WolframAlpha; la única diferencia es el uso de un punto y coma (;) en Maxima. Factorización en números primos en Maxima y WolframAlpha

Factorización en números primos en Maxima y WolframAlpha

user@pc:~$ _python_ Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) [GCC 10.2.0] on linux Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. 
>>> from sympy import factorint, pprint 
>>> pprint(factorint(420, visual=True))

22 ⋅31 ⋅51 ⋅71

>>> pprint(factorint(180, visual=True))

22 ⋅32 ⋅51

Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm)

El máximo común divisor (mcd) de dos números (420, 54) es el mayor factor común de dichos números o el mayor número que divide a ambos. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos números es el menor de los múltiples comunes o, dicho de otro modo, el número más pequeño que es divisible por ambos.

Ambos se pueden fácilmente obtener utilizando la factorización de un número en números primos, por ejemplo 420 = 22 * 3 * 5 * 7 y 54 = 2 * 33. El mcm es el producto de todos los factores (comunes y no comunes) elevados a la máxima potencia o exponente, mcm (420, 54) = 22 * 33 * 5 * 7 = 3780. El mcd es el producto de todos los factores comunes elevados al menor exponente, mcd (420, 54) = 2 * 3 = 6.

El mínimo común múltiplo de dos números es igual al producto de ambos números divididos por su máximo común divisor: 3780 = (420 * 54) / 6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo en Maxima y WolframAlpha

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo en Maxima y WolframAlpha

user@pc:~$ python 
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) [GCC 10.2.0] on linux Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. 
>>> import math 
>>> math.gcd(420, 54) # math.gcd() devuelve el máximo común divisor de dos números 6 
>>> 420*54/6 # lcm(420, 54) = 420*54/math.gcd(420, 54)
3780

Potencias y raíces

La potencia de un número es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces; en realidad, tantas veces como indique su exponente. Por ejemplo, 7 elevado a dos es 49, 72 = 7 x 7 = 49; 4 elevado a tres es 64, 43 = 4 x 4 x 4 = 64. La raíz cuadrada de un número es otro valor que, cuando se multiplica por sí mismo, resulta o es igual al número original. Es la operación inversa a elevar al cuadrado dicho número. Por ejemplo, la raíz cuadrada de √49 es 7, la raíz cuadrada de √64 es 8, etc.

Si deseas elevar un número n a una potencia p en Maxima, simplemente escribe n^p como, por ejemplo, 4^3; (= 64), 7^2; (= 49) o 2^4; (= 16). Si deseas calcular la raíz cuadrada de un número (64) en Maxima, entonces la orden sería sqrt(49); Puede usar Qalculate!, Wolfram Alpha y Google con la misma sintaxis pero sin el punto y coma"; “.

La Calculadora de Google es una calculadora bastante simple, pero está muy bien diseñada; es minimalista (muchas veces “menos” es “más”) y bastante fácil de usar.

Potencias y raíces en Maxima, Google y WolframAlpha

Potencias y raíces en Maxima, Google y WolframAlpha

inrt(x, n) devuelve la raíz enésima de x como, por ejemplo, inrt(64, 3); = 4 (4^3; = 64). Algo bastante más avanzado sería:

l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]; 
powerl: map (lambda ([a], a^3), l); 
[1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728]. 
map (lambda ([a], inrt(a, 3)), powerl);
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]
user@pc:~$ python 
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) [GCC 10.2.0] on linux Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. 
>>> import math 
>>> math.sqrt(49) # La función sqrt () devuelve la raíz cuadrada de cualquier número. 
7 
>>> pow(4, 3) # La función pow (base, exponente) devuelve la base elevada al exponente. 
64 
>>> 64**(1/3) # Raíz cúbica de 64 
3.9999999999999996

Sistemas de numeración romano, griego, maya y babilónico

Los números romanos son el sistema numérico utilizado en la antiguo imperio romano. Se forman combinando varios símbolos (I, V, X, L, C, D y M) y sumando o restando sus valores (I es 1, V es 5, X es 10, etc.). Por ejemplo, los números del 1 al 15 se escriben en números romanos de la siguiente manera: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV.

Sin embargo, es un poco más complicado de lo que parece. Cuando un símbolo de menor valor (I = 1) precede a otro símbolo de mayor valor (V = 5), necesitamos restar el de menor valor al mayor (5 - 1) y sumar el resultado al total, entonces XIV representa 10 + (5 - 1) = 10 + 4 = 14.

Wolfram Alpha convierte números decimales a números romanos (123 to Roman numerals), griegos (234 to Greek numerals), mayas (573 to Mayan) y babilónicos (457 to Babylonian). También puede convertir de un sistema numérico a otro (XVI to Maya), realizar operaciones aritméticas con números romanos (XLVI + MMIV), etc.

Qalculate! puede realizar conversiones entre números romanos y decimales. El resultado de los cálculos se muestra en el área por debajo de la entrada de expresiones: la pantalla de resultados. Selecciona Mode, Number Base, Roman Numerals (Modo, Base numérica, Números romanos) para mostrar el resultado en números romanos. Además, puedes convertir números romanos en números decimales si seleccionas Functions, Miscellaneous, Roman Number (Funciones, Varios, Número romano) y escribiendo los números romanos como CXXV (roman (CXXV) = 125).

Sistemas de numeración en WolframAlpha

Sistemas de numeración en WolframAlpha

user@pc:~$ _python_ Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) [GCC 10.2.0] on linux Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. 
>>> import roman # Pequeña librería de Python para convertir números arábigos en romanos. 
>>> print(roman.toRoman(124)) # Convierte números arábigos en romanos. 
CXXIV 
>>> print(roman.toRoman(87)) # Convierte números arábigos en romanos. 
LXXXVII 
>>> print(roman.fromRoman("MML")) # Convierte números romanos en arábigos. 
2050 
>>> print(roman.fromRoman("XCVIII")) # Convierte números romanos en arábigos. 
98

Otros sistemas numéricos: binario, octal y hexadecimal

Un sistema numérico es un sistema de escritura con símbolos y guarismos que se utiliza para expresar o representar números. El que se usa en la actualidad se denomina sistema decimal. Tiene diez símbolos (0-9) y ha sido tan ampliamente adoptado en todo el mundo que es posible que ni siquiera sepas que existen otros sistemas numéricos.

El sistema binario es un sistema númerico con base dos y utiliza tan solo dos símbolos: 0 y 1. Veamos los primeros números en binario: 0 (0), 1 (1), 10 (2), 11 (3), 100 (4), 101 (5), 110 (6), 111 (7), etc. Observa que el valor posicional de un dígito es una potencia de 2, no una potencia de 10. 10102 = 1 * 23 + 1 * 21 = 10. Las computadoras utilizan números binarios para representar la información.

Quizás, te interese consultar nuestra clase en Python para representar y operar con números naturales. Más concretamente, hacemos uso del proyecto generador de arte ASCII para contar con los dedos en binario para Python. Es, básicamente, un sistema para contar y mostrar números con los dedos de una o ambas manos. Es posible contar, usando el sistema de numeración binario y ambas manos, desde el cero hasta el 1023(210−1).

Contar hasta 1023 con los dedos

Contar hasta 1023 con los dedos

El sistema octal es un sistema numérico con base 8 y utiliza ocho dígitos que van del 0 al 7. Este sistema también es un sistema numérico posicional, lo que significa que el valor de cada dígito depende de la posición del dígito en el número y se denomina el valor posicional de ese dígito. En base 8, cada dígito representa una potencia de 8. Por ejemplo: 2758 = 2*82 + 7*81+ 5*80 = 189. El valor posicional del dígito 7 es 7 * 81 = 56.

El sistema hexadecimal es un sistema númerico posicional con base dieciséis y utiliza dieciséis símbolos diferentes: 0, 1, 2, … 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Bajo este sistema, el valor posicional de cada símbolo vale 16 veces más que el mismo símbolo situado inmediatamente a su derecha. Por ejemplo: 1F216 = 1 * 162 + 15*161 + 2 * 160 = 498

Qalculate! puede realizar conversiones entre diferentes sistemas numéricos. Selecciona Mode, Number Base, Binary, Octal, Decimal or Hexadecimal (Modo, Base numérica, Binario, Octal, Decimal o Hexadecimal) para mostrar el resultado en binario, octal, decimal o hexadecimal. También, nos permite escribir números en forma binaria, octal o hexadecimal precediéndolos con el prefijo apropiado: 0b, 0o (cero “0” y letra “o” de octal), o 0x: 0b1101102 (= 54), 0o168 (= 14), 0x2D16 (= 45).

Wolfram Alpha y Google pueden convertir números entre diferentes bases. Para convertir un número a binario, octal, hexadecimal o decimal, escribe el número seguido de las palabras to binary, to octal, to hex, or to decimal (a binario, octal, hexadecimal o decimal). Además, Wolfram Alpha puede realizar cálculos con números en diferentes bases.

Sistemas de Numeración en Maxima, WolframAlpha y Google

Sistemas de Numeración en Maxima, WolframAlpha y Google

user@pc:~$ python 
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) [GCC 10.2.0] on linux Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. 
>>> print(bin(79)) # Convierte un número decimal a binario. Observa el prefijo 0b que indica que es un número binario. 
0b1001111 
>>> print(oct(79)) # Convierte un número decimal a octal. Observa el prefijo 0o que indica que es un número octal. 
0o117 
>>> print(hex(79)) # Convierte un número decimal a hexadecimal. Observa el prefijo 0x que indica que es un número hexadecimal. 
0x4f 
>>> print(int("0b1001111", 2)) # Convierte un número binario a decimal. 
79 
>>> print(int("0o117", 8)) # Convierte un número octal a decimal. 
79 
>>> print(int("0x4f", 16)) # Convierte un número hexadecimal a decimal. 
79

Enteros

Los enteros son los números naturales (1, 2, 3, 4, …), los enteros negativos (-1, -2, -3, -4, …) y el número cero (0). Los números enteros negativos se utilizan para indicar temperaturas bajo cero (0ºC), para medir la profundidad por debajo del nivel del mar y cuando alguien precisa extraer más dinero de su saldo actual en un cajero automático. Qalculate!, Maxima, Google y WolframAlpha pueden realizar cálculos con números enteros.

“Si una persona se dedica al comercio, su capital aumentará con sus ganancias y disminuirá con sus pérdidas. El aumento de temperatura se mide por el número de grados que sube el mercurio en un termómetro y el descenso de temperatura, por el número de grados que el mercurio desciende. Al considerar cualquier medida, un valor o cantidad que aumenta la cantidad considerada se considera positivo, y un valor o cantidad que disminuye la cantidad considerada se considera negativo,” Los primeros pasos en álgebra, GA Wentworth.

El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica: |-4| = 4, |7| = 7. El valor absoluto de un número positivo es el mismo número, abs (9) = 9. El valor absoluto de cero es cero, abs (0) = 0; y el valor absoluto de un número negativo es su opuesto, abs(-7) = 7.

El opuesto de un número es el número que está situado a la misma distancia del 0 pero en la dirección opuesta en la recta numérica, es decir, es simétrico respecto del origen: -(-7) = 7.

Las operaciones con números enteros son un poco complicadas. Esto es lo que debemos hacer cuando sumamos un número negativo con otro positivo (-8 + 7). Utiliza el signo del número mayor (-1) y resta el valor absoluto del menor al valor absoluto del mayor (8 - 7 = 1): -1.

También debes recordar: (R1) El producto de un número entero positivo y un número entero negativo es siempre un número entero negativo: 4 * -3 = 12, -5 * 3 = 15. (R2) El producto de dos números enteros negativos (- 3 * -3 = 9, -4 * -5 = 20) o dos números enteros positivos (2 * 4 = 8, 4 * 7 = 28) es siempre un número entero positivo. Las mismas reglas se aplican a la división: R1 (8: -4 = -2, -4: 2 = -2), R2 (8: 4 = 2, -9: -3 = 3).

Puedes ver la representación de un número entero en la recta numérica con WolframAlpha. Simplemente escribe o teclea un número entero. Enteros en Maxima, WolframAlpha y Q

Enteros en Maxima, WolframAlpha y Q

user@pc:~$ python 
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) [GCC 10.2.0] on linux Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. 
>>> 4-5 
-1 
>>> -5*(-4) 
20 
>>> (-8)/(-4) 
2.0 
>>> (-4*7)-(-3*(-2)) 
-34 
>>> abs(-8) # abs() calcula el valor absoluto del número pasado como argumento 
8
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