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Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Un polinomio es una expresión algebraica que consta de variables o incógnitas y números relacionados mediante sumas, restas, multiplicaciones y potencias. Si hay una sola variable “x”, un polinomio se puede reescribir como anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0.

Operaciones básicas con polinomios

Recuerda que al multiplicar dos monomios obtienes otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los dos monomios y la incognita tiene por exponente la suma de los exponentes de los monomios: 2*x2 * 5*x3 = 10*x5;

Factorización de un polinomio

En general, si deseas factorizar un polinomio, es posible que necesites extraer un factor común: x^2 + x = x(x + 1), 6*x^4 -12*x^3 +4*x^2 = 2*x^2* (3*x^2 -6*x + 2), usar fórmulas notables 25*x^2 -49 = (5*x)^2-(7)^2=(5*x-7)(5*x+7) donde estamos usando (a+b)(a-b)=a2 -b2 o dividir el polinomio entre (x-a) por el método de Ruffini.

Método de Ruffini

Método de Ruffini

Raíces de un polinomio

Las raíces o ceros de un polinomio son los valores de la variable que anulan el polinomio, es decir, que hacen que el polinomio se evalúe a cero. Dicho de otra manera, la raíz de un polinomio P(x) es ese valor “a” tal que P(a) = 0.

Gnuplot es un programa de representación gráfica de funciones y superficies y visualización gráfica de datos. Nos proporciona una interfaz de línea de comandos. La orden set grid dibuja las líneas de cuadrícula para el gráfico. El comando set xzeroaxis dibuja una línea en y = 0. set xrange [-5: 5] y set yrange [-60: 40] nos permiten establecer los rangos horizontal y vertical de la gráfica. plot y splot son los comandos principales en Gnuplot, por ejemplo, plot sin(x)/x, splot sin(x*y/20), o plot [-5:5] x**4 -6*x**3 +5*x**2 +24*x -36, donde x**4 es x4 y -6*x**3 is -6*x3.

WolframAlpha es una gran herramienta para encontrar las raíces de un polinomio, así como, para representar gráficamente y factorizar polinomios.

Raíces y factorización de un polinomio con Python

vim factor.py

>>> import sympy
>>> x = sympy.Symbol('x') # Las variables SymPy son objetos de la clase Symbol.
>>> polinomio = x**4 -6*x**3 + 5*x** 2 + 24*x -36 # polinomio = x4 -6*x3 +5*x2 +24*x -36
>>> print(sympy.solve(polinomio)) # sympy.solve resuelve algebraicamente ecuaciones y polinomios. Las raíces del polinomio son 
[-2, 2, 3]
>>> print(sympy.factor(polinomio)) # sympy.factor toma un polinomio como argumento y lo factoriza en sus polinomios irreducibles
(x - 3)**2*(x - 2)*(x + 2)
>>> polinomio2 = 2*x**4 + x**3 -8*x**2 -x + 6
>>> print(sympy.solve(polinomio2))
[-2, -1, 1, 3/2]
>>> print(sympy.factor(polinomio2))
(x - 1)*(x + 1)*(x + 2)*(2*x - 3)
>>> polinomio3 = x**4 -16
>>> print(sympy.solve(polinomio3))
[-2, 2, -2*I, 2*I]
>>> print(sympy.factor(polinomio3))
(x - 2)*(x + 2)*(x**2 + 4)

import numpy as np # NumPy es una biblioteca para trabajar con arrays (vectores y matrices)
import matplotlib.pyplot como plt # Matplotlib es una biblioteca para la generación de gráficos en Python
X = np.linspace (-5, 5, 50, endpoint = True) # Devuelve un array de números o datos espaciados uniformemente sobre el intervalo [-5, 5] que utilizaremos como nuestros valores en el eje x.
def p(x):
        return x**4 -6*x**3 + 5*x**2 + 24*x -36 # Este es el polinomio que vamos a representar gráficamente.
F = p(X) # Calculamos los valores correspondientes al eje "y" y los almacenamos en F.
plt.ylim([-60, 40]) # Establecemos los límites del eje y.
plt.plot(X, F) # Los valores almacenados en X y F se dibujan usando la función plot() de Matplotlib.
plt.show() # Finalmente, la representación gráfica del polinomio se muestra usando la función show().
Raíces y factorización de un polinomio con Python

Raíces y factorización de un polinomio con Python

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación es una igualdad algebraica entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen una o más variables. Los dos miembros están separados por el signo igual “=” y, al menos, deben contener un número o cantidad desconocida, llamada variable o incognita y que se representa por una letra (x, y, ó z). Algunos ejemplos de ecuaciones son 7*x = 12, 2*x + 6 = 8, x2 + 4*x + 4 = 0, etc. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que, al ser sustituidos en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad sea cierta. El grado de una ecuación es el exponente más elevado al que esté elevado la incognita o incógnitas de la ecuación.

Resolvamos la ecuación: 1. Recolocamos los términos: Mueve los monomios que llevan la incognita (“x”) a la izquierda y los términos que no la llevan a la derecha: 2 * x -x = 4 -6. Observa que un término se puede mover de un miembro (lado) de una ecuación al otro siempre que se cambie el signo del término. 2. Ahora simplifica los términos similares: x = -2.

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado

Gráficamente, “2*x + 6” y “x + 4” son dos rectas o líneas secantes que se cruzan en x = -2, es decir, en la solución de la ecuación.

A. Recolocamos o reescribimos los términos: x -3*x +3*x -x = 4 + 6 - 1. B Simplificamos: 0 = 9. La ecuación no tiene solución. Es una ecuación imposible. Gráficamente, 1 - 2*x, 10 -2*x son dos rectas o líneas paralelas (tienen la misma pendiente m = -2) y, en consecuencia, no hay soluciones o valores donde se crucen.

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado son aquellas en las que, una vez simplificadas, el mayor exponente al que se eleva la incógnita es 2.

La solución es: x = -b ± √b2 -4*a*c2*a = 5 ± √52 -4*1*62*1 = 5 ± √25 -242 = 5 ± 12. devuelve x2 -5*x + 6 y su gráfica es una parábola. Sus dos raíces (2, 3) son las intersecciones con el eje x de la gráfica (los valores de x donde el gráfico cruza el eje x).

ecuacion2a

ecuacion2a

La solución es: x = -b ± √b2 -4*a*c2*a = 8 ± √82 -4*1*162*1 = 8 ± √64 -642 = 8 ± 02. Es una raíz doble: 4. expand ((x-4) * (x-4)); devuelve x^2 -8*x +16 y su gráfico también es una parábola, pero que no cruza el eje x, solo lo toca en x = 4.

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

La solución es: x = -b ± √b2 -4*a*c2*a = 0 ± √02 -4*1*42*1 = ± √-162 = ± 4i2 = ±2i. expand((x-2%i)*(x+2%i)); devuelve x^2 +4. No hay raíces reales y el gráfico no cruza ni toca el eje x. Su gráfica nos muestra que las raíces de la ecuación son números complejos.

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

>>> import sympy # Vamos a resolverlo en Python usando SymPy
>>> x = sympy.Symbol('x') # Las variables SymPy son objetos de la clase Symbol.
>>> equation = x**2 +4 # Define la ecuación x2 + 4
>>> print(sympy.solve(equation)) # sympy.solve resuelve algebraicamente ecuaciones y polinomios. Las raíces de la ecuación son:
[-2*I, 2*I]
>>> print(sympy.factor(equation)) # Le pedimos a Python que factorice nuestra ecuación (x-2i) (x+2i), pero falla.

import numpy as np # NumPy es una biblioteca para trabajar con arrays (vectores y matrices)
import matplotlib.pyplot como plt # Matplotlib es una biblioteca para la generación de gráficos en Python
X = np.linspace(-5, 5, 50, endpoint = True) # Devuelve un array de números o datos espaciados uniformemente sobre el intervalo [-5, 5] que utilizaremos como nuestros valores en el eje x.
def p (x):
        return x ** 2 + 4 # Este es el polinomio que vamos a representar gráficamente.
F = p(X) # Calculamos los valores correspondientes al eje "y" y los almacenamos en F.
plt.ylim([0, 30]) # Establecemos los límites del eje y
plt.plot(X, F) # Los valores almacenados en X y F se dibujan usando la función plot() de Matplotlib.
plt.show() # Finalmente, la representación gráfica de la ecuación o polinomio se muestra usando la función show().

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más ecuaciones lineales (es decir, cada ecuación es de primer grado) compuestas por dos o más variables, de modo que todas las ecuaciones se consideran simultáneamente. La solución consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones. Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas consta de dos ecuaciones lineales de la forma
a * x + b * y = c
d * x + e * y = f
La solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es cualquier par ordenado (x, y) que satisfaga cada ecuación de forma independiente y, gráficamente, es el punto en el que las rectas que representan las ecuaciones lineales se cruzan.

En un sistema de ecuaciones lineales, cada ecuación se corresponde con una recta. Se trata de un sistema de ecuaciones lineales compatible y determinado con una única solución (3, 1). Este es el punto donde las dos rectas secantes se cruzan.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Las dos rectas son, en realidad, una sola, por lo que cada par de coordenadas es una solución para ambas ecuaciones: (1, 2), (3, -1), etc. Las ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales dependientes se pueden obtener la una a partir de la otra pues describen la misma línea; por lo que 9*x + 6*y = 21 es básicamente la misma ecuación que 3*x + 2*y = 7. Es el resultado de multiplicar ambos miembros o lados de la ecuación por 3.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

user@pc:~$ python
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) 
[GCC 10.2.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import sympy 
>>> x = sympy.Symbol('x')
>>> y = sympy.Symbol('y')
>>> sympy.solve([3*x+2*y-7, 8*x-6*y+4])
{x: 1, y: 2}
>>> sympy.solve([3*x+2*y-7, 9*x+6*y-21])
{x: 7/3 - 2*y/3}
>>> sympy.solve([3*x+2*y-7, 6*x+4*y-15])
[]

Desigualdades matemáticas

Una desigualdad es una proposición que relaciona dos números o expresiones algebraicas cuando estos son distintos, por ejemplo, -3*x-7<2*x-5, 5*y-2>14, etc.

Desigualdades matemáticas

Desigualdades matemáticas

Siempre puedes resolver la ecuación x^2 -7*x -10 = (x-2)(x-5) y demostrar que x^2 -7*x -10 <= 0 entre sus raíces.
(-∞, 2): x^2 - 7*x -10> 0;
[2, 5]: x^2 -7*x -10 <= 0;
(5, -∞): x^2 - 7*x -10> 0

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