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Un número complejo es un número que se puede expresar, representar o escribir en la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria definida por i2 = −1.
Vamos a utilizar Octave. Se trata de uno de los lenguajes de programación de alto nivel más populares, principalmente diseñado y ampliamente utilizado para cálculos numéricos. La sintaxis de Octave es bastante compatible con Matlab. Es la mejor alternativa gratuita a Matlab.
user@pc:~$ python
Python 3.8.10 (default, Jun 2 2021, 10:49:15)
[GCC 10.3.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> x=8+5j; # La forma más sencilla y rápida de definir un número complejo en Python es simplemente escribiendo x = a + bj; en el código fuente
>>> y=7-2j;
>>> x+y # Dado que el complejo es un tipo de datos nativo en Python, puedes hacer todo tipo de cálculos aritméticos básicos con ellos directamente.
(15+3j)
>>> x-y
(1+7j)
>>> x*y
(66+19j)
>>> x/y;
(0.8679245283018868+0.9622641509433962j)
>>> 3*x
(24+15j)
>>> x.real # Para obtener las partes real e imaginaria de un número complejo en Python, solo necesitamos utilizar sus atributos real e imag.
8.0
>>> x.imag
5.0
>>> x.conjugate() # El método conjugado devuelve el conjugado del número complejo y se obtiene cambiando el signo de su parte imaginaria.
(8-5j)
>>> abs(x) # Para obtener la coordenada radial o radio de un número complejo, tenemos que llamar al método abs()
9.433981132056603
>>> import cmath, numpy
>>> cmath.phase(x) # Para obtener la coordenada angular, fase o ángulo de un número complejo, invocaremos el método cmath.phase()
0.5585993153435624
>>> numpy.degrees(cmath.phase(x)) # La coordenada angular o ángulo devuelta por cmath.phase(x) está en radianes y es posible que deseemos usar la función numpy.degrees() para convertirla en grados.
32.005383208083494
Usemos Geogebra para entender mejor los números complejos. Más específicamente, representemos 8 + 5i. Primero, dibujaremos un triángulo. Selecciona Polígono (Polygon), y haz clic en los puntos o vértices (0, 0), (8, 0), (8, 5) y finaliza haciendo click en el primer punto nuevamente (0, 0) para completar el triángulo. Alternativamente, puede escribir en el campo de entrada: A = (0, 0), B = (8, 0), C = (8, 5), Polígono ![A, B, C, A]. Usemos Geogebra para entender mejor los números complejos
Para obtener la coordenada angular o el ángulo, selecciona Ángulo y haz clic en B, A y C o simplemente escribe Angulo![B, A, C] en el campo de entrada. Observa que el ángulo está en grados. Usemos Geogebra para entender mejor los números complejos
Selecciona C, luego haz clic con el botón derecho (abres el menú contextual), pulsa en la opción Propiedades de Objeto y, a continuación, selecciona en la pestaña Básico, en el menú desplegable Muestra Rótulo, Nombre y valor.
También puedes teclear directamente el número complejo w = 8 + 5i en el campo de entrada. A continuación, haz clic en el punto con el botón derecho (menú contextual) y selecciona Propiedades de Objeto. En la pestaña Básico, en el menú desplegable Muestra Rótulo, selecciona Nombre y valor. A continuación, en la pestaña Algebra, en el menú desplegable Coordenadas tienes una lista de formatos disponibles, a saber: Número complejo (w = 8 + 5i ), Coordenadas cartesianas (w = (8, 5)) o Coordenadas polares (w = (9.43, 32.010)).
Podemos usar las siguientes órdenes: x(w), y(w), abs(w) y arg(w). Devuelven la parte real e imaginaria, la coordenada radial o radio y la coordenada angular, fase o ángulo del número complejo dado, respectivamente. conjugate (w) devuelve el conjugado del número complejo w: 8 - 5i. 
Volvamos a Octave.
Como puede ver en la siguiente captura de pantalla, también puedes hacer aritmética básica con números complejos con WolframAlpha, por ejemplo, (2+3i)*(4-2i), 1/(1+3i), (2+3i)^3…
Podemos usar el sistema de coordenadas cartesianas y describir la ubicación de un punto “p” mediante dos coordenadas (x, y). También podemos asignar al punto p un par de coordenadas polares (r, θ).
La primera coordenada r (coordenada radial) “es la distancia radial (a lo largo de una línea radial recta) desde el polo (0, 0) a “p”, y θ es el ángulo (coordenada angular) formado por esa línea radial y el eje x positivo, medido en el sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x hasta la línea,” Maths in a minute: Polar coordinates. Podemos pensar en este concepto como si fuera un reloj con una sola manecilla. “Nos movemos una distancia r a lo largo de la manecilla desde el origen, luego giramos la manecilla hacia arriba (en sentido antihorario) un ángulo θ para alcanzar el punto”, xaktly.com, coordenadas polares.
fooPlot era una sencilla herramienta de representación de funciones en línea. Puedes ver el gráfico de una función predeterminada (x^2), pero a la derecha, puedes cambiar la función y seleccionar Polar para que podamos realizar gráficos de funciones en coordenadas polares. Además, puedes establecer el color de fondo, mostrar/ocultar las líneas de la cuadrícula, exportar el gráfico como svg, eps, pdf y png, e incluso compartirlo en tu red social favorita.
r(theta) = 2 es la ecuación de un círculo de radio R = 2 centrado en el origen en coordenadas polares. Las gráficas de las funciones seno (sin(theta), theta en ![0, pi]) y coseno (cos(theta), theta en [0, pi]) en coordenadas polares también son círculos. sin(2*theta), theta en [0, 2*pi] es una rosa con cuatro pétalos. Recuerda que sin(theta), theta en [0, pi], era un círculo, así que sin(2*theta) en [0, pi⁄2] es un pétalo en el primer cuadrante; sin(2*theta) en [pi⁄2, pi] es el segundo pétalo en el segundo cuadrante y así sucesivamente: [pi, 3pi⁄2], [3pi⁄2, 2]. 3*sin(2*theta) es la misma rosa con cuatro pétalos, pero “vitaminada”, es decir, con tres veces el radio. Gráficas en coordenadas polares con fooPlot
r(theta) = 2*sin(4*theta), theta in [0, 2pi] dibuja una bonita flor o rosa con ocho pétalos. 2 es el radio de la rosa. Se forma aumentando el factor de frecuencia (4), por lo que aumenta el número de bucles en el gráfico polar (4 = 2 * 2, duplica los pétalos del último ejemplo).
La espiral de Arquímedes se describe mediante la ecuación r = a + b*theta. Si a = 0, entonces el punto central de nuestra espiral es el origen, y b = 0.3. La constante b controla la distancia entre bucles. 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt # matplotlib.pyplot proporciona una forma de representación de funciones similar a MATLAB.
theta = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) # np.arange() devuelve el objeto ndarray que contiene valores espaciados uniformemente dentro de [0, 2*np.pi]; en otras palabras, trazaremos la función para todos los theta en [0, 2*π]
r = 2*theta # Representaremos gráficamente la espiral de Arquímedes.
plt.polar(theta, r,'b.') # matplotlib.pyplot.polar permite crear gráficas polares.
plt.title("r(theta)=2*theta", va='bottom') # Añadimos un título para nuestra gráfica.
plt.show()
import numpy as np # Usemos Python para trazar funciones en coordenadas polares
import matplotlib.pyplot as plt # matplotlib.pyplot proporciona una forma de representación de funciones similar a MATLAB.
theta = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) # np.arange() devuelve el objeto ndarray que contiene valores espaciados uniformemente dentro de [0, 2*np.pi]; en otras palabras, trazaremos la función para todos los theta en [0, 2*π]
r = 2+3*np.cos(theta) # Representaremos gráficamente el cardioide.
plt.polar(theta, r, 'b.') # matplotlib.pyplot.polar permite crear gráficas polares.
plt.title("r(theta)=2+3*np.sin(theta)", va='bottom') # Añadimos un título para nuestra gráfica.
plt.show()
Por supuesto, también podemos usar WolframAlpha para trazar funciones en coordenadas polares, por ejemplo, polar plot r=0.3*theta, theta=0 to 8*Pi, polar plot r=2 +3*sin(theta), theta=0 to 2*Pi, etc.
GeoGebra admite números complejos, solo teclea en el campo de Entrada: a = 1 + 2i y b = 3 + i. Alternativamente, puedes seleccionar Nuevo punto y trazar los puntos A (1, 2) y B (3, 1).
A continuación, escribe aux1 = Vector [(0, 0), a] y aux2 = Vector [(0, 0), b] en el campo de entrada. Gráficamente, para obtener el mismo resultado, tendrías que seleccionar la opción Vector entre Dos Puntos del menú Recta que pasa por Dos Puntos, y hacer clic tanto en el origen de coordenadas (0, 0) como en A (1, 2) (a) y luego repetir la misma operación pero para el otro complejo, es decir, hacer clic nuevamente en (0, 0) y B (3, 1) (b).
Dibujemos dos líneas paralelas seleccionando la opción Reta paralela del menú Recta perpendicular. Haz clic en el punto B (3, 1) (b) y el vector “aux1” o simplemente teclea: aux3 = Recta(b, aux1). Haz clic en el punto A (1, 2) (a) y el vector “aux2” o escribe en el campo de entrada: aux4 = Recta(a, aux2).
Ahora, le pedimos a Geogebra que nos muestre la intersección de ambas líneas paralelas. Navega hasta el menú Nuevo punto, Intersección de Dos Objetos y pulsa en las dos líneas dibujadas en el paso anterior o escribe c = Interseca[aux3, aux4].
Finalmente, selecciona la opción Vector entre Dos Puntos del menú Recta que pasa por Dos Puntos, y haz clic en el origen de coordenadas (0, 0) y “c” o escribe Vector ![(0 , 0), c]. Observa que A (1, 2) (a, 1 + 2i) + B (3, 1) (b, 3 + i) = (4, 3) (c, 4 + 3i). Suma de números complejos con Geogebra
Una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros. Es un conjunto de ecuaciones con más de una variable dependiente, por ejemplo, x = x(t), y = y(t), que definen o especifican las variables (dependientes) “x” e “y” como funciones de un parámetro o variable independiente “t”.
from sympy import * # Grafiquemos una ecuación paramétrica con Python
import sympy.plotting as plt
t = symbols('t')
x = 0.3*t*cos(t) # cos(t), sin(t), t∈[0, 2*pi] es un círculo; 2*cos(t), 3*sin(t), t∈[0, 2*pi] define una parábola. Las dibujamos con FooPlot.
y = 0.3*t*sin(t) # Las espirales tienen la ecuación paramétrica: x(t) = a*t*cos(t), y(t) = a*t*sin(t), donde a es una constante.
plt.plot_parametric(x, y, (t, 0, 10*pi)) # Traza gráficos paramétricos 2D.
from sympy import * # Grafiquemos una ecuación paramétrica con Python
import sympy.plotting as plt
import math
t = symbols('t')
x = cos(t) # Si dibujas un círculo con x = cos(t) e y = sin(t) y lo estiras uniformemente en la dirección z, obtendrás una _hélice cilíndrica_.
y = sin(t)
z = t
plt.plot3d_parametric_line(x, y, z, (t, 0, 8*math.pi)) # Dibuja una curva paramétrica en 3D y muestra una hélice cilindrica.
Un toro con radio mayor R y radio menor r puede definirse como: x = (r Cos(u) + R) Cos(v); y = (r Cos(u) + R) Sin(v); z = r Sin(u), v, u∈[0, 2*pi], R = 3, r = 2. Dibujémoslo en WolframAlpha: ParametricPlot3D[{(2 Cos[u]+3) Cos[v], (2 Cos[u]+3) Sin[v], 2 Sin[u]}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi}]
Dibujamos una esfera también con la siguiente orden: ParametricPlot3D![{(2sin(v)*cos(u)), 2sin(v)*sin(u), 2cos(v) }, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi}] Dibujando una esfera y un toro en WolframAlpha
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