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Una función es una regla que define una relación entre una variable (la variable independiente, por ejemplo, tiempo) y otra variable (la variable dependiente, por ejemplo, la posición o distancia de un cuerpo). Una función es lineal si se puede expresar en la forma f(x) = mx + b. Su gráfica es una línea recta, m es la pendiente y b es la ordenada en el origen, el valor de la función donde x es igual a cero, es decir, (0, b) es el punto de corte con el eje de ordenadas y.
Gnuplot es un programa gratuito de representación grafica de funciones y superficies y visualización gráfica de datos. Posee una interfaz de línea de comandos. La orden set grid permite dibujar una cuadrícula en el gráfico. El comando set xzeroaxis dibuja una línea en y = 0. set xrange [-5: 5] y set yrange [-60: 40] especifican los rangos horizontal y vertical que se mostrarán. plot y splot son los comandos principales en Gnuplot, por ejemplo, plot sin(x)/x, splot sin(x*y/20), o plot [-5:5] x**4 -6*x**3 +5*x**2 +24*x -36, donde x**4 es x4 and -6*x**3 es -6*x3.
set terminal wxt size 400,250 enhanced font 'Verdana,12' persist
# Usamos _set terminal_ para decirle a gnuplot qué tipo de salida debe generar. El dispositivo de terminal wxt genera la salida en una ventana separada.
set border linewidth 1.5 # La orden _set border_ controla la visualización de los bordes del gráfico para los comandos plot y splot.
set style line 1 linecolor rgb '# 0060ad' linetype 1 linewidth 2 # _set style line_ define un conjunto de tipos y anchos de línea y tipos y tamaños de puntos para que puedas invocarlos más adelante, mediante un índice, sin necesidad de repetir toda la información en cada llamada.
set style line 2 linecolor rgb '#dddd1f' linetype 1 linewidth 2
set xzeroaxis linetype 3 linewidth 2.5 # Dibuja el eje x.
set xlabel 'x' # Establecer la etiqueta para el eje x
set ylabel 'y' # Establece la etiqueta para el eje y
set key top left # set key habilita una clave (o leyenda) en la esquina superior izquierda
f(x) = 3 * x + 5 # Definimos dos funciones lineales
g(x) = 4 * x
plot f(x) title '3*x+5' with lines linestyle 1, \ # Trazamos f(x) usando el estilo de línea 1 definido previamente
g(x) title '4*x' with lines linestyle 2 # y g(x) usando el estilo de línea 2
Gnuplot se puede ejecutar de forma interactiva. Simplemente abrimos el terminal y tecleamos gnuplot: user@pc:~$ gnuplot. Una vez dentro del entorno Gnuplot, basta con invocar las órdenes necesarias para la representación de funciones. Por ejemplo, escribe plot sin(x) o load ‘myPlot.gnu’. Alternativamente, podemos trabajar en modo batch o por lotes, es decir, con archivos de script (archivos ascii que contienen todos los comandos tal como los ingresarías de forma interactiva uno tras otro): gnuplot myPlot.gnu. 
Se trata de líneas secantes. Son rectas o líneas que se intersectan o cruzan entre sí. En concreto, ambas líneas se cortan en el punto (5, 20); (3 * x + 5 = 4 * x; -x = -5; x = 5).
Observa que ambas rectas son paralelas porque tienen la misma pendiente. Tienen diferentes ordenadas en el origen (punto de corte con el eje de ordenadas) y, en consecuencia, no son líneas coincidentes.
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, cuya expresión analítica general es de la forma f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales y “a” es distinto de cero. Su gráfica es una curva simétrica en forma de U llamada parábola.
La fórmula cuadrática proporciona la(s) solución(es) de una ecuación cuadrática:
x = -b ± √b2 -4*a*c⁄2*a. El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática dentro de la raíz cuadrada: b2-4ac. El discriminante nos indica si hay dos soluciones, una única solución o ninguna.
set terminal wxt size 400,250 enhanced font 'Verdana,11' persist
# Usamos _set terminal_ para decirle a gnuplot qué tipo de salida debe generar. El dispositivo de terminal wxt genera la salida en una ventana separada.
set border linewidth 1.5 # La orden set border controla la visualización de los bordes del gráfico para los comandos plot y splot.
set style line 1 linecolor rgb '# 0060ad' linetype 1 linewidth 2 # set style line define un conjunto de tipos y anchos de línea y tipos y tamaños de puntos para que puedas invocarlos más adelante, mediante un índice, sin necesidad de repetir toda la información en cada llamada.
set style line 2 linecolor rgb '#dddd1f' linetype 1 linewidth 2
set xzeroaxis linetype 3 linewidth 2 # Dibuja el eje x.
set xlabel 'x' # Establecer la etiqueta para el eje x
set ylabel 'y' # Establece la etiqueta para el eje y
set key top left # set key habilita una clave (o leyenda) en la esquina superior izquierda
set yrange[-40: 40] # El comando set yrange establece el rango vertical que se mostrará en el eje y.
set xrange[-10: 10] # El comando set xrange establece el rango horizontal que se mostrará en el eje x.
f(x) = -x**2 -5*x + 6 # Definimos dos funciones cuadráticas
g(x) = x**2 + 2*x + 5
plot f(x) title '-x^2-5*x+6' with lines linestyle 1, \ # Representamos la función cuadrática f(x) usando el estilo de línea 1
g(x) title 'x^2+2*x+5' with lines linestyle 2 # y g(x) usando el estilo 2
Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. Las funciones trigonométricas básicas incluyen las siguientes funciones: seno (sin (x)), coseno (cos (x)), tangente (tan (x)), cotangente (cot (x)), secante (sec (x)) y cosecante (csc (x)).
Un ángulo agudo es un ángulo menor de 90⁰. Dado un triángulo rectángulo y un ángulo agudo α en el triangulo.
cos(α) = cos(33.69°) = la razón de la longitud del lado adyacente del ángulo dividido por la longitud de la hipotenusa = 3⁄3.61 = 0.83.
sin(α) = sin(33.69°) = la razón de la longitud del lado opuesto del ángulo dividido por la longitud de la hipotenusa = 2⁄3.61 = 0.55.
tan(α) = tan(33.69°) = la razón de la longitud del lado opuesto del ángulo dividida por la longitud del lado adyacente = 2⁄3 = 0.66.
csc(α) = cos(33.69°) = la cosecante es la razón de la hipotenusa entre el lado opuesto; es el recíproco del seno = 3.61⁄2 = 1.805.
sec(α) = sin(33.69°) = la secante es la razón de la hipotenusa entre el lado adyacente; es el recíproco del coseno = 3.61⁄3 = 1.20.
cotangente (α) = cot(33,69°) = la cotangente es la razón del lado adyacente entre el lado opuesto; es el recíproco de la tangente = 3⁄2 = 1.5. 
octave: 1> x = -10: 0.1: 10; # x = inicio -10: incremento 0.1: fin 10 define una colección ordenada de números equiespaciados o equidistantes entre inicio y fin. Usamos un vector x para almacenar los valores "x"
octava: 2> y = sin(x); # Define nuestra función seno. Cuando se grafica en Octava, se requiere que los puntos de la gráfica tengan sus valores "x" almacenados en un vector y los valores "y" en otro vector.
octava: 3> plot(x, y); # Usamos el comando plot para representar gráficamente funciones en Octave
octava: 4> tittle("Sin(x)") # Podemos añadir títulos a nuestra gráfica.
octave: 5> xlabel ("x") # También podemos añadir etiquetas a los ejes x e y.
octava: 6> ylabel ("y")
octava: 7>
La función tangente tiene asíntotas verticales siempre que cos (x) = 0 (la función no está definida), más concretamente en -Pi⁄2, Pi⁄2, 3*Pi⁄2, etc.
La función exponencial es la función f(x) = ex, donde e = 2.71828… es la constante de Euler. De manera más general, se define una función exponencial como la función matemática que se expresa algebraicamente como: f(x) = abx donde b es un número real positivo (b> 0), b no es igual a 1 (b ≠ 1), y el argumento x se nos presenta como exponente.
Si b > 1, la curva aumenta exponencialmente o, dicho de otro modo, sus valores se disparan, se vuelven rápidamente muy grandes y representa un crecimiento exponencial. Observa que valores de la base más grandes (b) hacen que la gráfica sea más empinada. Si 0 < b < 1, entonces la curva será decreciente y representa un decaimiento exponencial. Los valores de la función “decaen” o disminuyen a medida que aumentan los valores de x, es decir, se acercan cada vez más a 0. 
octave: 1> x = -10: 0.1: 10; # x = inicio -10: incremento 0.1: fin 10 define una colección ordenada de números equiespaciados o equidistantes entre inicio y fin. Usamos un vector x para almacenar los valores "x"
octave: 2> clf; # borra la ventana de la figura actual.
octave: 3> plot (x, exp(x), 'r; Exponencial;'); # Usamos el comando plot para representar gráficamente ex en Octave
octave: 4> title ("La función exponencial") # Añadimos un título a nuestra gráfica
Dibujar o representar funciones en Google es un juego de niños. Observa que 2x (b > 1) se duplica cada vez que incrementamos en uno la variable independiente x (crecimiento exponencial, 1, 2, 4, 8, …). Por el contrario, 1⁄2x (0 < b <1) se contrae o reduce a la mitad cada vez que incrementamos en uno la variable x (decaimiento exponencial). Rara vez se puede observar una curva de crecimiento exponencial en la naturaleza. El crecimiento exponencial no es sostenible porque depende de cantidades infinitas de recursos, los cuales obviamente no suelen existir o encontrarse en el mundo real.
El logaritmo natural de x es la potencia a la que “e” tendría que elevarse para obtener nuestro número original x, por ejemplo, ln 3.4 = 1.22377…, pues e1.22377… = 3.39998… Es la función inversa de la exponencial: elnx = x. Crece lentamente hacia el infinito positivo + ∞ a medida que x aumenta y va lentamente hasta el infinito negativo - ∞ conforme x se aproxima a 0, es decir, el eje “y” es una asíntota vertical. Dicho de otro modo, la distancia entre la gráfica del logaritmo natural y “x = 0” se aproxima a cero conforme x se acerca a cero por la derecha.
El logaritmo de un número dado x es el exponente al que debe elevarse otro número fijo, la base b, para producir ese mismo número x: logb(x) = y si by = x. Grafiquemos funciones logarítmicas con base e y otras bases con wxMaxima.
log(x) representa el logaritmo natural (base e) de x. Sin embargo, Maxima no tiene una función predefinida para el logaritmo en base 10 u otras bases. No te preocupes, querido lector, para cada problema siempre hay una solución.
Usaremos la fórmula de cambio de base: logax = logbx⁄logba por lo que el logaritmo en base 2 (también llamado logaritmo binario) es igual al logaritmo natural dividido por log (2). Por lo tanto, podríamos usar log10(x): = log(x)/log(10); y log2(x): = log(x)/log(2); como definiciones útiles (radcan(log2(8)); = 3, radcan(expr); simplifica expresiones que pueden tener logaritmos, raíces y exponenciales). 
Vamos a dibujar |x|, √x, y sgn(x) con , un programa de representación de funciones matemáticas de código abierto, gratuito y fácil de usar. Instálalo, lánzalo y haz clic en Windows, Functions (Funciones) o pulsa la combinación de teclas rápidas Ctrl + F y escribe: sqrt (x) en el cuadro de entrada llamado “f(x)”, abs(x) en el cuadro de entrada “g(x)”, y x/abs(x) en el tercer cuadro de entrada rotulado con “h(x)”. Representación de funciones en ZeGrapher
Una raíz cuadrada de un número “x” es un valor “y” cuyo cuadrado es “x” ó que cuando se multiplica por sí mismo da nuestro número original: y2 = x. El dominio de la función raíz cuadrada (y = sqrt (x) = √x) son todos los valores de x tales que x ≥ 0, es decir, los reales no negativos. Su representación gráfica es una curva que muestra la mitad de una parábola acostada de lado, es decir, su eje de simetría es el eje x.
El valor absoluto o módulo de un número x (se representa por abs(x) o |x| y se lee como “el valor absoluto de x”) es el valor positivo de x sin tener en cuenta su signo. Es su distancia desde cero en la recta numérica. A saber, |x| = x si x es positivo, |x| = −x si x es negativo y |0| = 0.
El signo de un número real, también llamado sgn o signum, es -1 para los números negativos, 0 para el número cero y +1 para los números positivos. Cualquier número real “x” puede expresarse como el producto de su valor absoluto y la función signo evaluada en x: x = |x| * sgn(x), por eso usamos la fórmula x/abs(x) para poder representar dicha función gráficamente. Es una función impar pues la siguiente ecuación es válida para todo x: -f(x) = f(-x). Además, no es continua en x = 0. 
Finalmente, dibujaremos la raíz cúbica usando Matplotlib. La raíz cúbica de un número x es otro número “y” que necesitamos multiplicar por sí mismo tres veces para obtener nuestro número original “x” o, más formalmente, es un número “y” tal que y3 = x. Es una función impar (f(-x) = -f(x)) y, en consecuencia, su gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas.
import numpy as np # NumPy es una biblioteca que facilita el trabajo con arrays (vectores y matrices)
import matplotlib.pyplot como plt # Matplotlib es una biblioteca para la generación de gráficos en Python
X = np.arange (-10, 10, 0.01) # Devuelve números espaciados uniformemente dentro del intervalo [-10, 10] como valores en el eje x.
def p(x): # Esta es la función que vamos a graficar.
return np.cbrt(x) # Devuelve la raíz cúbica de un array, es decir, devuelve la raíz cúbica de cada elemento del array.
F = p(X) # Calcula la raíz cúbica del array X y almacena en F los valores "y" correspondientes.
plt.ylim([- 4, 4]) # Establece los límites y en los ejes actuales.
plt.plot(X, F, color = 'r') # Estos valores X, F se dibujan o grafican usando la función plot() de mathlib.
plt.xlabel('x') # Establece la etiqueta para el eje x.
plt.ylabel('y') # Establece la etiqueta para el eje y.
plt.title('Cube root') # Definimos un título para el gráfico.
plt.axvline(0) # Añade una línea vertical como eje Y.
plt.axhline(0) # Añade una línea horizontal como eje X.
plt.show () # Finalmente, la representación gráfica se nos muestra usando la función show().
Una función definida por partes o función “a trozos” (no, lo siento, “a cachitos” no) es aquella definida por dos o más funciones. Cada una de estas funciones se aplica a un intervalo diferente del dominio.
Por ejemplo, el valor absoluto (|x| = -x si x <0, |x| = x si x ≥ 0) y el signo (sgn(x) = -1 si x <0, sgn(x) = 0 si x = 0, sgn(x) = 1 si x> 0) son dos ejemplos de funciones definidas por partes.
Representemos gráficamente una función definida por partes en Maxima. Vamos a usar la orden charfun (p); Devuelve 0 cuando el predicado p se evalúa como falso; y 1 cuando el predicado se evalúa como verdadero.
f(x): = charfun (x<2) * x^2 + charfun (x>=2) * 4; es como definimos funciones definidas por partes en Maxima. Para todos los valores de x menores que dos, se usa la primera función (x2). Para todos los valores de x mayores o iguales a dos, se utiliza la segunda función (4). 
Nuestra función “a trozos” es continua (es continua en todos los puntos de su dominio; es decir, no presenta cambios bruscos de valor ni huecos) porque sus funciones constituyentes (x2 , 4) son continuas en sus intervalos o subdominios correspondientes (- ∞, 2), [2, +∞) y no hay discontinuidad en 2.
Ahora representaremos gráficamente otra función definida por partes con Octave: 
x = -5: 0.01: -1; y = -x; plot (x, y, "linewidth", 4), hold on
x = -1: 0,01: 0; y = x.^ 2; plot (x, y, "linewidth", 4),
Definimos la subfunción: y = x2 para x en [-1, 0] y la representamos gráficamente con plot. Establecemos el ancho de línea en 4.
x = 0: 0,01: 5; y = sqrt(x); plot (x, y, "linewidth", 4)
# Definimos la subfunción: y = √x para x en [0, 5] y la dibujamos.
Finalmente, representamos la siguiente función definida por partes con Python usando la biblioteca Mathplotlib. 
#!/usr/bin/env python
import numpy as np # NumPy es una biblioteca que facilita el trabajo con arrays (vectores y matrices)
import matplotlib.pyplot como plt # Matplotlib es una biblioteca para la generación de gráficos en Python
import math
def piecewise (x): # Esta es nuestra función definida por partes
si x <= -1:
return -x + 2
elif -1 <= x <= 0:
return pow (x, 2)
else:
returm math.log (x)
vpiecewise = np.vectorize (piecewise) # El propósito de np.vectorize es transformar funciones que no están preparadas para NumPy en funciones que pueden "operar con" y "devolver" arrays de NumPy.
x = np.linspace(-5, 5, 10000) # Devuelve números espaciados uniformemente sobre [-5, 5] como valores en el eje x.
y = vpiecewise(x) # Calculamos los "y" valores.
plt.axvline(0) # Añade una línea vertical en el eje y
plt.axhline(0) # Añade una línea horizontal en el eje x
plt.plot(x, y, color = 'r') # Estos valores x, y se trazan usando la función plot() de mathlib.
plt.show() # La representación gráfica se muestra usando la función show(). La función es continua en todo el dominio excepto en x=0.
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