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¡Aprende Geometría con nosotros! GeoGebra.

Básica geometría con GeoGebra.

GeoGebra es un software dinámico, de código abierto, para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles, desde la escuela primaria hasta la universidad. Es gratuito, mutiplataforma (iOS, Android, Windows, macOS, y Linux) y ha sido traducido a un buen número de idiomas. Es un programa interactivo con una interfaz sencilla e intuitiva y, aún así, es muy potente.

GeoGebra es tanto una aplicación web en línea como una aplicación de escritorio, que la puedes descargar gratuitamente, para utilizarla sin conexión a Internet.

Dibujar líneas y segmentos

Solo necesitas usar las herramientas apropiadas en la barra de herramientas para crear construcciones geométricas en la Vista Gráfica con tu ratón. Por ejemplo, selecciona Recta que pasa por dos puntos (Line), haz clic dos veces en la Vista Gráfica y obtendrás dos puntos (A, B) y una línea o recta que pasa por A y B.

Si deseas dibujar segmentos, selecciona la opción Segmento entre dos puntos (Segment) en el menú Recta que pasa por dos puntos. Haz clic nuevamente dos veces en la Vista Gráfica y obtendrás un segmento.

Dibujar líneas y segmentos con GeoGebra

Dibujar líneas y segmentos con GeoGebra

También es posible obtener los mismos resultados desde la Barra de Entrada en el panel inferior. Si deseas introducir puntos, simplemente teclea: A = (1, 6). B = (3, 2) . Dibujar líneas también es muy simple. Dibujemos la línea que pasa por dos puntos. Calculemos su pendiente = (ya-yb)/(xa-xb) = (6-2)/(1-3)=-2. Ahora podemos escribir su ecuación: y-ya = pendiente * (x-xa), (y-6)=-2*(x-1), (y-6)=-2x+2, y=-2x+2+6, por lo que debes escribir y = -2x + 8 .

Dibuja una línea (A, B) y un punto (C). Construyamos _la línea paralela a nuestra línea inicial que pasa por C. Selecciona la opción Recta paralela (Parallel Line) en el menú Recta perpendicular (Perpendicular Line), pulsa en C y luego en nuestra línea (A, B).

Recta paralela con GeoGebra

Recta paralela con GeoGebra

Construyamos la línea perpendicular a nuestra línea inicial que pasa por C. Simplemente selecciona Recta perpendicular, haz clic en C y luego en nuestra línea (A, B). La vista algebráica en el panel izquierdo te permite ver y editar todos los objetos creados. Por ejemplo, el punto B y sus dos coordenadas.

A continuación, mediremos la longitud de un segmento. Dibuja dos puntos (A, B) y un segmento (AB). Selecciona Ángulo, Distancia o Longitud (Angle, Distance or Length) y haz clic en el segmento. También puedes escribir comandos u órdenes en la barra de Entrada y obtener los mismos resultados. Por ejemplo, d = Distancia[A, B] calcula la longitud del segmento AB; Perpendicular [C, a] crea una línea que pasa por el punto C perpendicular a la línea a; y la orden Recta[C, a] crea una línea que pasa por el punto C paralela a la línea a.

Calculemos el centro de nuestro segmento (AB). Selecciona la opción Punto medio o Centro (Midpoint or Center) en el menú Nuevo Punto (Point) y haz clic en el segmento. Alternativamente, puedes introducir la orden PuntoMedio [A, B].

Dibujar ángulos, círculos, tangentes y bisectrices.

Dibujemos un ángulo y su bisectriz.

Dibujemos un círculo.

Selecciona Circunferencia dados su Centro y uno de sus puntos (Circle with Center Through Point) en la Caja de herramientas, haz clic en un punto en el panel central o Vista Gráfica (centro, A) y luego en otro (cualquier punto en el círculo, B). Como siempre, también puede construir círculos escribiendo la orden myCircle = Circunferencia[A, B] en el campo de entrada.

Dados un círculo y un punto C, dibujaremos las dos líneas que pasan por el punto C y son tangentes al círculo. Selecciona Recta Perpendicular, Tangentes, haz clic en el punto C y, a continuación, en la circunferencia o simplemente teclea Tangente[C, myCircle].

Tangentes a un círculo

Tangentes a un círculo

Calculemos el punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Observa que esta línea pasa por el punto C y, por consiguiente, confirma que C es realmente el punto medio de nuestro segmento original AB.

Calcular el área de una circunferencia

user@pc:~$python
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) 
[GCC 10.2.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information
import math
math.pi * pow(2.96, 2)
27.52537819369233
Área de una circunferencia

Área de una circunferencia

Trabajar con triángulos con Geogebra

Trabajar con triángulos con Geogebra

Trabajar con triángulos con Geogebra

Construyendo la circunferencia circunscrita en GeoGebra

La circunferencia circunscrita de un polígono es la circunferencia que pasa por todos sus vértices. Su centro se denomina circuncentro. No todos los polígonos tienen un círculo circunscrito. Un polígono cíclico es un polígono que tiene todos sus vértices en una circunferencia, es decir, aquel que está inscrito en una circunferencia. Todos los triángulos, rectángulos y polígonos regulares son cíclicos.

Construyendo la circunferencia circunscrita en GeoGebra

Construyendo la circunferencia circunscrita en GeoGebra

La circunferencia inscrita de un triángulo

La circunferencia inscrita de un triángulo es la circunferencia más grande contenida en el triángulo. Es tangente (o toca en un solo punto) a los tres lados. El centro del círculo se llama incentro del triángulo.

La circunferencia inscrita de un triángulo

La circunferencia inscrita de un triángulo

Traslaciones en GeoGebra

Existen tres transformaciones básicas o fundamentales: traslaciones, reflexiones y rotaciones. Estas transformaciones mueven la figura u objeto sin realizar ningún cambio en su forma y tamaño. Una reflexión voltea un objeto para crear una imagen reflejada, una rotación gira un objeto y una traslación mueve o desliza un objeto a una ubicación diferente sin rotarlo ni cambiar su tamaño. Quisiera insistir en que después de aplicar cualquiera de estas transformaciones (voltear, girar o trasladar) la figura u objeto conserva su tamaño, área, ángulos y longitudes de línea.

Calcula el área (Ángulo, Área) y los ángulos interiores del triángulo. Cuando trasladas algo, simplemente lo estás moviendo. No lo distorsionas de ninguna manera. Si trasladas un segmento, su longitud no cambia. De manera similar, si trasladas un ángulo o un triángulo, la medida del ángulo o el área del triángulo permanece constante.

Traslaciones en GeoGebra

Traslaciones en GeoGebra

Rotaciones en Geogebra

LaTeX con Overleaf

LaTeX con Overleaf

Rotaciones en Geogebra

Rotaciones en Geogebra

Calcula el área (Ángulo, Área) y los ángulos interiores del cuadrado. Cuando giras algo, simplemente lo rotas, no lo distorsionas de ninguna manera y su área no cambia.

Reflexión con GeoGebra

Se puede pensar en la reflexión como voltear una figura o un objeto sobre una línea de reflexión que denominamos línea de espejo. Un objeto y su reflejo tienen la misma forma y tamaño, pero se nos muestran como si fueran reflejos de un espejo.

Reflexión con GeoGebra

Reflexión con GeoGebra

A continuación, reflejaremos el triángulo a lo largo del eje y, por lo que la línea d será x = 0. Observa que la coordenada y permanece igual, sin cambios, pero la coordenada x se transforma en su opuesto; A’= (-x, y) = (-2,58, 4,18).

Reflexión con GeoGebra

Reflexión con GeoGebra

Reflejemos el triángulo a lo largo de la recta y = x. En este caso, la coordenada “x” y la coordenada “y” se intercambian: A ‘= (y, x) = (4.18, 2.58).

Reflexión con GeoGebra

Reflexión con GeoGebra

Finalmente, dibuja un pentágono (Polígono, Polígono regular, n = 5, poli1), un punto (Nuevo Punto, F (0,0)) y refleja el pentágono sobre el origen seleccionando en el menú Reflejar Objeto en Recta, la opción Refleja Objeto por Punto y haz clic en el pentágono y en el punto F. Observa que tanto la coordenada x como la coordenada y quedan transformadas en sus opuestos, es decir, A ‘= (-x, -y) = (-2.73, -3.28).

Reflexión con GeoGebra

Reflexión con GeoGebra

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