¡Aprende Geometría con nosotros! GeoGebra.

Básica geometría con GeoGebra.

GeoGebra es un software dinámico, de código abierto, para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles, desde la escuela primaria hasta la universidad. Es gratuito, mutiplataforma (iOS, Android, Windows, macOS, y Linux) y ha sido traducido a un buen número de idiomas. Es un programa interactivo con una interfaz sencilla e intuitiva y, aún así, es muy potente.

GeoGebra es tanto una aplicación web en línea como una aplicación de escritorio, que la puedes descargar gratuitamente, para utilizarla sin conexión a Internet.

Dibujar líneas y segmentos

Solo necesitas usar las herramientas apropiadas en la barra de herramientas para crear construcciones geométricas en la Vista Gráfica con tu ratón. Por ejemplo, selecciona Recta que pasa por dos puntos (Line), haz clic dos veces en la Vista Gráfica y obtendrás dos puntos (A, B) y una línea o recta que pasa por A y B.

Si deseas dibujar segmentos, selecciona la opción Segmento entre dos puntos (Segment) en el menú Recta que pasa por dos puntos. Haz clic nuevamente dos veces en la Vista Gráfica y obtendrás un segmento.

También es posible obtener los mismos resultados desde la Barra de Entrada en el panel inferior. Si deseas introducir puntos, simplemente teclea: A = (1, 6). B = (3, 2) . Dibujar líneas también es muy simple. Dibujemos la línea que pasa por dos puntos. Calculemos su pendiente = (y_a-y_b)/(x_a-x_b) = (6-2)/(1-3)=-2. Ahora podemos escribir su ecuación: y-y_a = pendiente * (x-x_a), (y-6)=-2*(x-1), (y-6)=-2x+2, y=-2x+2+6, por lo que debes escribir y = -2x + 8 .

Dibuja una línea (A, B) y un punto (C). Construyamos _la línea paralela a nuestra línea inicial que pasa por C. Selecciona la opción Recta paralela (Parallel Line) en el menú Recta perpendicular (Perpendicular Line), pulsa en C y luego en nuestra línea (A, B).

Construyamos la línea perpendicular a nuestra línea inicial que pasa por C. Simplemente selecciona Recta perpendicular, haz clic en C y luego en nuestra línea (A, B). La vista algebráica en el panel izquierdo te permite ver y editar todos los objetos creados. Por ejemplo, el punto B y sus dos coordenadas.

A continuación, mediremos la longitud de un segmento. Dibuja dos puntos (A, B) y un segmento (AB). Selecciona Ángulo, Distancia o Longitud (Angle, Distance or Length) y haz clic en el segmento. También puedes escribir comandos u órdenes en la barra de Entrada y obtener los mismos resultados. Por ejemplo, d = Distancia[A, B] calcula la longitud del segmento AB; Perpendicular [C, a] crea una línea que pasa por el punto C perpendicular a la línea a; y la orden Recta[C, a] crea una línea que pasa por el punto C paralela a la línea a.

Calculemos el centro de nuestro segmento (AB). Selecciona la opción Punto medio o Centro (Midpoint or Center) en el menú Nuevo Punto (Point) y haz clic en el segmento. Alternativamente, puedes introducir la orden PuntoMedio [A, B].

Dibujar ángulos, círculos, tangentes y bisectrices.

Dibujemos un ángulo y su bisectriz.

• Construye tres puntos (A, B y C), selecciona Ángulo en la Caja de herramientas y, a continuación, haz clic en C, A y B. El orden es muy importante porque Geogebra opera en sentido antihorario, es decir, en la dirección opuesta a las manecillas del reloj. También puede obtener el mismo resultado con la orden: Angulo (C, A, B).
• ¿Cómo construir una bisectriz (divide un ángulo en dos ángulos iguales) de un ángulo dado? Selecciona la opción Bisectriz (Bisector) en el menú Recta perpendicular (Perpendicular Line), luego haz clic en C, A y B. Es muy fácil, ¿verdad?

  Geogebra es una aplicación de software dinámica, por lo que puedes mover cualquier punto A, B o C, y la bisectriz se actualizará automáticamente.

  

Dibujemos un círculo.

Selecciona Circunferencia dados su Centro y uno de sus puntos (Circle with Center Through Point) en la Caja de herramientas, haz clic en un punto en el panel central o Vista Gráfica (centro, A) y luego en otro (cualquier punto en el círculo, B). Como siempre, también puede construir círculos escribiendo la orden myCircle = Circunferencia[A, B] en el campo de entrada.

Dados un círculo y un punto C, dibujaremos las dos líneas que pasan por el punto C y son tangentes al círculo. Selecciona Recta Perpendicular, Tangentes, haz clic en el punto C y, a continuación, en la circunferencia o simplemente teclea Tangente[C, myCircle].

Calculemos el punto medio de un segmento

• Dibuja un segmento “a”, selecciona la opción Punto Medio o Centro del menú Nuevo punto y haz clic en el segmento “a” o simplemente teclea C = PuntoMedio [A, B] en el campo de Entrada. ¡Comprobemos que es correcto! El punto medio (x, y) de un segmento con extremos (x(A), y(A)) y (x(B), y(B)) tiene coordenadas: ((x(A) + x(B)) / 2, (y(A) + y(B)) / 2) = ((2,36 + 11,06) / 2, (-2,67 + -0,97) / 2) = (6,71, -1,82).
• Dibuja dos círculos con centros A y B respectivamente y el mismo radio. Este radio debe ser mayor que la longitud del segmento AC. En otras palabras, r = Distancia [A, C] = 4.43, c = Circunferencia [A, r ‘], d = Circunferencia [B, r’], con r ‘> r (por ejemplo, 6> 4.43).
• Navega a Nuevo Punto, Intersección de Dos Puntos y haz clic en ambos círculos (c, d) o escribe en el campo de Entrada Interseca[c, d], Geogebra devolverá dos puntos D y E. Luego, dibuja la línea que pasa por estos dos puntos: Segmento [D, E] o selecciona Recta que pasa por Dos puntos, y haz clic en D y E.

Observa que esta línea pasa por el punto C y, por consiguiente, confirma que C es realmente el punto medio de nuestro segmento original AB.

Calcular el área de una circunferencia

• Selecciona Circunferencia dados su Centro y uno de sus puntos (Circle with Center Through Point) en la Caja de herramientas y, a continuación, haz clic en un punto en la Vista Gráfica (centro, A) y luego en otro (un punto en el círculo, B).
• Navega a Ángulo, Área y haz clic en el círculo. Esta herramienta calcula el área de un polígono, círculo o elipse, y la orden es myArea = Area[c] donde c es la circunferencia.
• Dibujemos el radio: Recta que pasa por Dos Puntos, Segmento entre Dos Puntos y haz clic en A y B. A continuación, selecciona en el menú Ángulo, la opción Distancia o longitud y haz clic en A y B.
• Finalmente, calculemos el área algebraicamente: Pi * r² = Pi * 2.96² = 27.53. Hay errores de aproximación involucrados. Calculémoslo con Python:

user@pc:~$python
Python 3.8.6 (default, May 27 2021, 13:28:02) 
[GCC 10.2.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information
import math
math.pi * pow(2.96, 2)
27.52537819369233

Trabajar con triángulos con Geogebra

• Primero, veamos la cuadrícula (Vista, Cuadrícula (View, Grid)) y, tal vez, te convenga aumentar el tamaño de la fuente (Opciones, Tamaño de Letra (Options, Font Size), 20 puntos) y acercar el zoom (Elige y Mueve, Zoom de Acercamiento).
• Dibujemos un triángulo. Dirígete al menú Polígono y selecciona tres vértices: A = (1, 1), B = (1, 4) y C = (5, 1), y vuelve a hacer clic en el punto A para cerrar el polígono (Poligonal[A, C, B, A]).
• A continuación, dibujaremos sus tres ángulos y comprobaremos que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Selecciona Ángulo y haz clic en C, A, B (el orden es importante, siempre debes hacer clic en los puntos en sentido antihorario): α = 90°. Repite con B, C, A (β = 36,87°) y A, B, C (γ = 53,13°). Observa que α + β + γ = 90° + 36.87° + 53.13 ° = 180. Escribe en el área de entrada de texto: ζ = α + β + γ y obtendras ζ = 180°. Selecciona Insertar texto, haz clic en la Vista Gráfica y teclea: α + β + γ (Símbolos) = α + β + γ = ζ (Objetos).
• El teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Selecciona la opción Distancia o Longitud del menú Ángulo y haz clic en B y C: |BC| = 5. Obviamente, |BC|2 = |BA|2 + |CA|2 = 32 + 42 = 25.
• Calcula el área seleccionando Ángulo, Área y haciendo clic en el triángulo. Área ABC = 6. Recuerda que el área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido por dos = (|BA| * |CA|)⁄2 = (3 * 4)⁄2 = 6.

Construyendo la circunferencia circunscrita en GeoGebra

La circunferencia circunscrita de un polígono es la circunferencia que pasa por todos sus vértices. Su centro se denomina circuncentro. No todos los polígonos tienen un círculo circunscrito. Un polígono cíclico es un polígono que tiene todos sus vértices en una circunferencia, es decir, aquel que está inscrito en una circunferencia. Todos los triángulos, rectángulos y polígonos regulares son cíclicos.

• La mediatriz o bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo es el segmento que biseca ese lado perpendicularmente, es decir, es una línea que es perpendicular a ese lado y pasa por su punto medio. Las tres bisectrices perpendiculares de los tres lados de un triángulo se cruzan en el circuncentro (d, e, f). Puedes dibujarlas seleccionando Recta Perpendicular, Mediatriz y haciendo clic en cada uno de los lados del triángulo o escribiendo Mediatriz[a], Mediatriz[b] y Mediatriz[c] donde a, b y c son los lados del triángulo.
• Dibuja la circunferencia seleccionando Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos y haciendo clic en el circuncentro y en cualquiera de los tres vértices del triángulo o simplemente escribiendo la orden Circunferencia[Interseca[d, e], A] (d y e son dos de las trez mediatrices calculadas previamente).

La circunferencia inscrita de un triángulo

La circunferencia inscrita de un triángulo es la circunferencia más grande contenida en el triángulo. Es tangente (o toca en un solo punto) a los tres lados. El centro del círculo se llama incentro del triángulo.

• El centro de la circunferencia inscrita (el incentro) se puede calcular como la intersección de las tres bisectrices del triángulo. Selecciona en el menú Recta Perpendicular, la opción Bisectriz, y haz clic en C, A y B (d). Repite con B, C y A (e), y nuevamente con C, B y A (f) o teclea en el Campo de Entrada: d = Bisectriz[C, A, B], e = Bisectriz[B, C, A] y f = Bisectriz[C, B, A].
• Escribe Incenter = Interseca[d, e] (o Incenter = Interseca[e, f] o Incenter = Interseca[d, f]) o selecciona Nuevo punto, Intersección de Dos Objetos y haz clic en dos bisectrices del triángulo.
• Teclea D = Interseca [d, Segmento[B, C]] donde d es la bisectriz angular de C, A y B o selecciona Nuevo punto, Intersección de Dos Objetos y haz clic en d y en el lado BC. Alternativamente, puede utilizar la intersección entre la bisectriz de C, B, A (f) y el lado AC o entre la bisectriz de ángulo de B, C, A (e) y AB.
• Para dibujar la circunferencia, selecciona Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos y haz clic en el Incentro y D (la intersección entre la bisectriz del ángulo de C, A y B (d) y el lado BC).

Traslaciones en GeoGebra

Existen tres transformaciones básicas o fundamentales: traslaciones, reflexiones y rotaciones. Estas transformaciones mueven la figura u objeto sin realizar ningún cambio en su forma y tamaño. Una reflexión voltea un objeto para crear una imagen reflejada, una rotación gira un objeto y una traslación mueve o desliza un objeto a una ubicación diferente sin rotarlo ni cambiar su tamaño. Quisiera insistir en que después de aplicar cualquiera de estas transformaciones (voltear, girar o trasladar) la figura u objeto conserva su tamaño, área, ángulos y longitudes de línea.

• Dibujemos un punto (Punto nuevo, A) y un vector (Recta que pasa por Dos Puntos, Vector entre Dos Puntos, u = Vector [B, C]).
• A continuación, selecciona la opción Translada Objeto por un vector del menú Reflejar Objeto en Recta, y haz clic en nuestro punto (A) y el vector (u). El punto trasladado es A ‘= (7.66, 0.24) = A + u = (1.74, -2.46) + (5.92, 2.7).
• De manera similar, podemos trasladar triángulos: Traslada [poli1, u] donde poli1 es el triángulo. Observa: D ‘= Traslada [D, u] = D + u = (4.56, -4.24) + (5.92, 2.7) = (10.48, -1.54).

Calcula el área (Ángulo, Área) y los ángulos interiores del triángulo. Cuando trasladas algo, simplemente lo estás moviendo. No lo distorsionas de ninguna manera. Si trasladas un segmento, su longitud no cambia. De manera similar, si trasladas un ángulo o un triángulo, la medida del ángulo o el área del triángulo permanece constante.

Rotaciones en Geogebra

• Dibujemos un cuadrado. Selecciona la opción Polígono regular del menú Polígono, haz clic en dos puntos A y B y especifica 4 como el número n de vértices en el campo de entrada de la ventana de diálogo que te aparece.
• Crea el punto central de rotación (Nuevo Punto, O) será (0, 0), el origen de coordenadas donde se cruzan los ejes del sistema cartesiano.
• A continuación, giraremos el cuadrado 45° grados alrededor del origen. Navega a Reflejar Objeto en Recta, Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado, haz clic en nuestro cuadrado (poli1), el punto central (O) y teclea el ángulo 45°.
• Verifica tus resultados. Observa la matriz de rotación, la matriz de transformación que se utiliza para realizar una rotación. También mostramos la aplicación Overleaf, un editor de LaTeX en línea. A (x, y), A’ (x’, y’) es A rotado, x’ = 1.9 * cos (45 grados -no radianes-) -3.36 * sin (45 grados) = - 1.03.

Calcula el área (Ángulo, Área) y los ángulos interiores del cuadrado. Cuando giras algo, simplemente lo rotas, no lo distorsionas de ninguna manera y su área no cambia.

Reflexión con GeoGebra

Se puede pensar en la reflexión como voltear una figura o un objeto sobre una línea de reflexión que denominamos línea de espejo. Un objeto y su reflejo tienen la misma forma y tamaño, pero se nos muestran como si fueran reflejos de un espejo.

• Dibuja un triángulo (Polígono, poli1 = Polígono [A, B, C] ) y una Recta que pasa por Dos Puntos (- 2, 0) y (4, 0); en otras palabras, el eje x (d: y = 0).
• Reflejemos el triángulo a través del eje x. Selecciona Refleja Objeto en Recta, luego haz clic en poli1 y en d (d: y = 0, el eje x).
• Ten en cuenta que cuando reflejas un punto A = (x, y) a lo largo del eje x, la coordenada x permanece igual, inalterada pero la coordenada “y” se transforma en su opuesto: A ‘= (x, -y) = (2.58, -4.18).

A continuación, reflejaremos el triángulo a lo largo del eje y, por lo que la línea d será x = 0. Observa que la coordenada y permanece igual, sin cambios, pero la coordenada x se transforma en su opuesto; A’= (-x, y) = (-2,58, 4,18).

Reflejemos el triángulo a lo largo de la recta y = x. En este caso, la coordenada “x” y la coordenada “y” se intercambian: A ‘= (y, x) = (4.18, 2.58).

Finalmente, dibuja un pentágono (Polígono, Polígono regular, n = 5, poli1), un punto (Nuevo Punto, F (0,0)) y refleja el pentágono sobre el origen seleccionando en el menú Reflejar Objeto en Recta, la opción Refleja Objeto por Punto y haz clic en el pentágono y en el punto F. Observa que tanto la coordenada x como la coordenada y quedan transformadas en sus opuestos, es decir, A ‘= (-x, -y) = (-2.73, -3.28).