10 Matemáticas y estadística.
10.1. Calculadoras.
10.2. Geometría.
10.3. Cálculo matemático multiplataforma con Octave.
10.4. R, una alternativa real a SPSS.
10.5. Cálculo algebraico con Yacas y Maxima.
10.6. Representación de funciones con Gnuplot y KmPlot.
10.7. Edición de texto científico.
10.8. Un servidor educativo WIMS sin despeinarse.

10.1. Calculadoras.


10.1.1 SpeedCrunch, una calculadora multiplataforma.

Si vamos a aprender matemáticas vamos a necesitar una calculadora, ¿Qué tal SpeedCrunch? Es una aplicación multiplataforma, consulta sus características en su página oficial, http://speedcrunch.org/en/index.html. Es rápida, potente y posee una gran precisión. Para instalarla en Windows basta con ir a la página oficial y encontrarás un link “download it now”, haz clic en la sección de Microsoft Windows. Tras el típico asistente, podrás ejecutarlo desde Inicio, Todos los programas, SpeedCrunch, SpeedCruch.

Si utilizas Linux basta con instalar el paquete speedcrunch, para ejecutarlo escribe en la consola speedcrunch o navega a Aplicaciones, Accesorios, SpeedCrunch.


10.1.2 Matebloc, anota además tus cálculos en cuadernos.

Otra calculadora, Matebloc, la podemos encontrar en http://www.edusistema.net/, es sólo compatible con Windows y para descargarla basta con pulsar en el enlace Download. De forma análoga nos encontramos al típico asistente (Idioma, Licencia, Directorio de instalación) y se ejecuta desde Inicio, Todos los programas, Matebloc, Matebloc.

La característica diferencial de esta calculadora es que podemos realizar anotaciones en cuadernos y después recuperarlas, estas opciones están disponibles desde el menú Cuaderno.

10.2. Geometría.


10.2.1 Matemáticas con regla y compás: CaR.

CaR es un programa ideal para aprender geometría, simula construcciones con reglas y compás, pero sin las limitaciones del papel.

La página oficial es http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/doc_en/index.html. Para instalarlo en Windows, ve a la sección Download y haz clic dentro de “Download and Installation” (Descarga e instalación) en la sección Windows, es un programa instalador bastante convencional. Te crea un lanzador en Inicio, Todos los programas, C.A.R, C.A.R. Start.

La página oficial cuenta con una abundante documentación en las secciones de “Documentation” (Documentación), “Demos” (Demostraciones) y “Tutorials” (Tutoriales), donde encontrarás una guía, paso a paso, para poder utilizar el programa.

Como pequeña ilustración calcularemos el punto medio de un segmento. Sigue los siguientes pasos:

  2. 1. Haz clic en Acciones, Recta, Segmento de longitud fija o en el botón

Dibuja dos puntos simplemente haciendo clic en el área de trabajo. Una vez dibujado el segmento obtendrás este cuadro de diálogo. Observa que puedes asignarle un Nombre (Recta1), una Longitud (10), un Color, etc.


2. Ahora creamos dos círculos desde Acciones, Círculos, Círculo o mediante el botón

Cada círculo tendrá como centro uno de los extremos y como radio el otro. Observa en la figura el resultado.

3. Finalmente, hacemos un segmento con los dos puntos resultantes de las intersecciones de los círculos.

4. El punto de intersección del segmento original, con el anterior es el punto medio del segmento original.

5. Por supuesto para crear un triángulo equilátero, bastará con crear segmentos desde los dos extremos del segmento original, con cualquiera de los dos puntos intersección de las circunferencias.


10.2.2 Geometría interactiva con KSEG.

KSEG es una herramienta libre de geometría interactiva, su página oficial es http://www.mit.edu/~ibaran/kseg.html y la documentación la puedes encontrar en http://www.mit.edu/~ibaran/kseg_help_en.html.

Su instalación en Windows pasa por descargarte el fichero 0.401 for Windows, descomprimirlo y ejecutar el archivo KSEG.exe. En Linux basta con instalar el paquete kseg y ejecutarlo escribiendo en la consola kseg o lánzalo desde Aplicaciones, Otras, KSeg Geometry Sketchpad.

Realicemos un ejemplo básico:

1. Una vez arrancada la aplicación, haz clic con el botón derecho del ratón en el área de trabajo para crear un punto.

2. Vuelve a crear otro punto, pero manteniendo la tecla Mayúscula para que queden seleccionados los dos puntos.

3. Crea un segmento con New, Segment.

4. Ahora para obtener el punto medio, New, MidPoint.

Para medir la distancia de un segmento basta con tener seleccionado sus dos extremos y hacer clic en Measure, Distance. Además basta con hacer clic con el botón derecho, para poder mover objetos fácil y eficientemente sobre el área de trabajo.

5. Crea otro punto y un triángulo como te hemos explicado en los pasos anteriores.

6. Ahora teniendo seleccionado los tres vértices, puedes medir los ángulos, Measure, Angle y comprobar que suman 180 grados (44.8045+48.0997+87.0959=180).

7. Prueba a mover los vértices del triángulo y veras que siempre obtendrás 180 grados.

Obviamente este es un ejemplo muy básico. A continuación te presentamos unas imágenes para ilustrar la potencia de esta fantástica herramienta.


10.2.3 Otras alternativas: Kig, Dr Geo, Geomview

Kig es un programa de geometría interactiva que forma parte del proyecto educativo KDE, sólo está disponible para Linux, se instala con el paquete kig y se encuentra en Aplicaciones, Educación, Kig o tecleando en la consola kig. Su página oficial es http://edu.kde.org/kig/ y se caracteriza por su amigabilidad además de ser software libre.

Crear una figura es bastante sencillo, utilizaremos la entrada de menú Objetos. Veamos un ejemplo, creemos un hexágono:

  1. Sigue la secuencia Objetos, Polígono, Polígono regular de centro dado.

  1. Haz clic en el área de trabajo, para definir el centro. Luego vuelves a hacer clic para establecer las dimensiones.

  1. Ahora tendrás que decidir el número de lados, es decir, el tipo de polígono. En la ilustración se muestran otras figuras que pueden crearse siguiendo los mismos pasos, pero seleccionando otros objetos.

Dr. Geo es otro programa de geometría interactiva para Linux, se instala con el paquete drgeo, se ejecuta desde Aplicaciones, Educación, Dr. Geo o tecleando en la consola drgeo. Su página oficial es http://www.ofset.org/drgeo. Como una ilustración del programa te mostramos un ejemplo extraído de los que incluye por defecto, están en la carpeta /usr/share/drgeo/examples.

Geomview, es una aplicación para visualización de imágenes 3D en Linux, su página oficial es http://www.geomview.org/, permite mover, hacer zoom, rotar objetos 3D a clic de ratón. Instala el paquete geomview, se ejecuta desde Aplicaciones, Otras, Geomview o desde la consola tecleando geomview.

Es “terriblemente” sencilla, si quieres poder ver desde cualquier perspectiva un cubo teclea geomview cube y muévelo con el ratón.



Por supuesto hay más figuras disponibles en /usr/share/geomview/data/geom, por ejemplo la de la figura es geomview klein8, observa la caja de herramientas, en el medio de la figura, que te permite rotar, hacer zoom, escalar, etc.


10.3. Cálculo matemático multiplataforma con Octave.


10.3.1 Concepto. Características. Direcciones interesantes.

Octave es un programa de cálculo numérico libre compatible con Matlab y bastante potente, así permite realizar cálculo matricial, resolver ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales ordinales, dibujar gráficas, etc.

Es multiplataforma y algunas direcciones básicas que deberías consultar son: http://www.gnu.org/software/octave/, http://octave.sourceforge.net/ y http://torroja.dmt.upm.es/~guillem/matlab/index.html.


10.3.2. Instalación

Navega a http://octave.sourceforge.net/, selecciona Windows Installer y dentro de aquí elige la última versión estable, en la fecha de edición era octave-2.9.15-setup.exe. Cuando lo instales, lo podrás lanzar desde Inicio, Todos los programas, Gnu Octave, Octave.

En Linux precisas instalar los paquetes koctave (interfaz K para Octave, QtOctave es otra interfaz amigable pero tendrás que compilarla), octave-forge, octave2.1-htmldoc (documentación) y gnuplot (Octave lo utiliza para representar gráficas). Se encuentra en K, Entretenimientos Educativos, Ciencia, Koctave o en la consola teclea koctave.

En ambos casos para salir del programa teclea exit.


10.3.3. Aprendiendo a usarlo con ejemplos.


10.3.3.1 Cálculo complejo.

Como puede apreciarse en la figura la realización de cálculo complejo en Octave es bastante intuitivo, sobra realmente cualquier comentario.


10.3.3.2 Cálculo matricial

Veamos cómo crear matrices (3*3 y 3*2): a = [ 1, 4, 2; 3, 5, 8; 3, 1, 4 ]; b = rand (3, 2);

Realicemos algunas operaciones con matrices: calculamos el producto de ambas matrices simplemente escribiendo a*b, también hemos calculado el determinante de la primera matriz det(a).

Podemos sumar o restar matrices a + b, a -b (tienen que tener el mismo rango), generar matrices con números aleatorios, por ejemplo una 4*4 con a=rand(4), transponerlas a’, invertirlas inv(a), etc.


10.3.3.3 Resolución de un sistema de ecuaciones y gráficas.

Veamos como representar la ecuación

La ecuación se representa por a x = b, donde a = [2, 5; 3, 4]; b = [17; 15];

La solución sería inv(a)* b aunque también podíamos haberlo calculado con a\b

En el ejemplo que te mostramos, hemos solicitado la gráfica de la función seno.

Para realizarla hemos seguido los siguientes pasos:

  1. Asignamos un conjunto de valores a representar: x=linspace(-2*pi, 2*pi, 200);

  2. Dibujamos la función en azul (b: blue): plot(x, sin(x), ’b’);

  3. Le ponemos un título: title(‘Función seno’);

  4. Ponemos las leyendas a los ejes: xlabel(“Ejes, Nota: ángulos en radianes PI=180 g); ylabel(“Eje y”);



10.4. R, una alternativa real a SPSS.


10.4.1 Concepto. Características. Direcciones interesantes.

R es un software estadístico extraordinariamente potente, que incluye un conjunto de herramienta para el tratamiento y análisis de los datos, así como herramientas para el análisis gráfico de los datos y un entorno de programación. Tiene licencia GNU GPL y es el equivalente libre al SPSS. Es también una aplicación multiplataforma.

Para comenzar a adentrarte en el mundo de R te aconsejamos el manual http://cran.r-project.org/doc/manuals/R-intro.pdf, la página oficial del proyecto http://www.r-project.org/ y su versión “española” http://cran.es.r-project.org/.


10.4.2 Instalación.

Para instalarlo en Windows, navega a la dirección oficial http://cran.es.r-project.org/, selecciona Windows (95 and later), 95 y versiones posteriores, base, R-2.6.0-win32.exe, ejecútalo y deja todas las opciones por defecto. Lo encontrarás en Inicio, Todos los programas, R, R.2.6.0.

Si quieres instalarlo en Linux, instala los paquetes r-base y r-base-html (documentación en html). Luego desde la consola se lanza con la orden R y se sale de la sesión con la instrucción q().


10.4.3 Análisis estadístico básico. Calculo de la media, mediana, varianza, desviación típica.

1.Primero creamos un array de 100 números en x que siguen la distribución normal (rnorm) y lo mostramos por pantalla (show).

2. Calculamos la media, mean(x), la mediana, median(x) y la cuasivarianza, var(x).

3. Para calcular la varianza tenemos que recurrir a crear una función, como sabrás la varianza = cuasivarianza * y además la función length calcula el número de elementos de x (en nuestro ejemplo 100). La función se crea de la siguiente forma: varianza<-function(x) { var(x) * (length(x)-1) / length(x) }, para invocarla bastará con escribir varianza(x).


10.4.4 Trabajando con gráficos.

Vamos a realizar un estudio de una muestra de pesos de niños con edades comprendidas entre 3 a 5 años. Escribe lo siguiente: peso3a5<-c(17,16,21,18,23,19,21,23,12,19,18,17,19,12,13,14,18).

Para dibujar un diagrama de barras, teclea barplot(peso3a5), con plot(peso3a5) el típico gráfico de puntos, boxplot(peso3a5) o diagramas de cajas, pie(peso3a5) gráfico de tartas. Dibujaremos un histograma con la siguiente información, el vector, el título y las leyendas, así como los colores: hist(peso3a5,main="Pesos de niños de 3 a 5 años",xlab="Pesos",ylab="Frecuencia", border="yellow", col="blue").


10.4.5 Ejemplos de contraste de hipótesis.

En este ejemplo vamos a preguntarnos si la media del peso de una población de niños es 17. Sea la variable chicos<- c(17,16,21,18,23,19,21,23,12,19,18,17,19,12,13,14,18), tenemos que teclear t.test(chicos,mu=17,conf=.95), donde 17 es el valor de la hipótesis nula , Ho es la notación para la hipótesis nula, es decir: , conf es el valor de confianza, en este caso el 95%. Observa que p-value es 0.44 para la media de 17, es decir no se rechaza dicha hipótesis, pero si el valor medio propuesto fuera 20, obtenemos p-value=0.01>0.05. En conclusión, 17 puede ser la media de dicha muestra, pero estamos estadísticamente seguros que 20 no.

Vamos a comparar si las diferencias de peso entre niños de 3 a 5 años con niños de 5 a 7 años son significativas.

Veamos los pasos a seguir:

  1. Definamos dos variables, una con los pesos de los niños de 3 a 5 y otra con la de los niños de 5 a 7, a saber: peso3a5<-c(17,16,21,18,23,19,21,23,12,19,18,17,19,12,13,14,18), peso5a7<-c(20,19,24,21,26,22,24,26,18,22,23,25,21,15,16,17,21).

  1. Precisamos contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas suponiendo dos muestras que siguen distribuciones normales, esto se realiza con la orden var.test(peso3a5,peso5a7). La hipótesis es que tienen igualdad de varianzas, obtenemos el valor de F, los grados de libertad y la significación 0.31. Es alto, no rechazamos la hipótesis nula, podemos asumir igualdad de varianzas.

  1. Realizamos el contraste de hipótesis propiamente dicho, con t.test(peso3a5,peso5a7,var.equal=T,conf.level=0.95).Observa que el nivel de confianza lo hemos marcado al 95% (según el estudio puedes precisar el 99%). Tenemos un grado de significación p=0,02<0,05 podemos asumir que las diferencias de peso son estadísticamente significativas.


Observa el parámetro var.equal=T, es decir, asumiendo varianzas iguales. Por defecto R, considera que las varianzas no son iguales.

En notación APA la descripción sería: “las diferencias de peso entre niños con edades comprendidas entre 3 y 5 años con aquellos con edades entre 5 y 7 años son estadísticamente significativas: T(32)=-2.38, p<0.05”.


10.5. Cálculo algebraico con Yacas y Maxima.


10.5.1 Yacas.


10.5.1.1 Concepto. Características. Direcciones interesantes.

Yacas es un programa de cálculo algebraico libre, multiplataforma y amigable. Permite no sólo realizar cálculos numéricos y simbólicos, sino que cuenta con un lenguaje propio para que podamos definir nuevas funciones así como utilizar librerías externas.

Dentro de las páginas a tener en cuenta están: la oficial http://yacas.sourceforge.net/homepage.html y un magnífico tutorial en castellano http://es.tldp.org/Presentaciones/200304curso-glisa/yacas/curso-glisa-yacas-html/index.html.


10.5.1.2 Yacas online.

No pueden poner más facilidades, navega a la dirección http://yacas.sourceforge.net/homepage.html, en la pestaña de My Yacas tienes el programa on-line, sin necesidad de realizar ninguna instalación. Simplemente teclea donde reza “Clic here to enter an expression”, haz clic aquí para introducir una expresión, un ejemplo:

Observa que existen tres áreas:


10.5.1.3 Instalación.

Para instalar Yacas, ve a la sección de Download de la página oficial http://yacas.sourceforge.net/homepage.html, y haz clic en el enlace referente a Windows, Browse version for Windows. Dentro de esta página, pulsa en el enlace al ejecutable .exe de la versión más reciente, por ejemplo yacas_1.0.63_setup.exe. Instálalo como cualquier otro programa de Windows: acepta la licencia, deja el directorio de instalación por defecto y que te cree los correspondientes accesos directos. Lo encontraras en Inicio, Todos los programas, yacas, yacas.

En Linux, precisas los paquetes yacas, yacas-doc y yacas-proteus y se ejecuta desde la consola con la orden yacas. Siendo el segundo paquete la documentación de la herramienta y la tercera una interfaz gráfica en estado experimental. Esta cuenta con una interfaz un poco más amigable que la consola, se lanza tecleando proteusworksheet.


10.5.1.4 Algunos ejemplos.


10.5.1.4.1 Cálculo de límites, derivadas, desarrollos de Taylor e integrales.

Para el cálculo de límites utilizamos Limit. Podemos calcular los límites en un punto y también conocer los límites en un punto por la derecha (Right) o la izquierda (Left).

Para derivar utilizamos la sintaxis D(x) Expresión.

También es bastante sencillo realizar integrales indefinidas y definidas, Integrate, en este último caso habrá que indicar la variable independiente y los extremos.

Por último también hemos calculado el desarrollo de Taylor de la función coseno en 0 con grado 7.


10.5.1.4.2 Ejemplo de manejo de listas, vectores y matrices.

Hemos creado una lista, la hemos ordenado con BubbleSort de menor a mayor y hemos solicitado que nos muestre su longitud.

Posteriormente hemos calculado las permutaciones de la lista 1, 2, 3. Recuerda que una lista es una secuencia ordenada.

Finalmente hemos recuperado el 3er elemento de la lista.

Un vector no es sino una tupla o secuencia ordenada de números.

Hemos definido dos vectores (miVector1, miVector2), realizado el producto escalar (.) y el vectorial (*). También hemos normalizado miVector1 (Normalize) y los hemos sumado y restado.

Para acabar, hemos solicitado a Yacas que nos realice todas las permutaciones de miVector1.

Creamos dos matrices y realizamos las operaciones básicas: suma (+), resta(-), multiplicación(*).

Luego calculamos la transpuesta de la primera matriz, su determinante y la inversa (puesto que tiene determinante distinto de cero).

También calculamos el producto de nuestra matriz con el vector 1, observa que no tenemos problemas de rangos: 3*3, 3*1 = 3*1.


10.5.1.4.3 Otros ejemplos: Resolución de ecuaciones, programando en Yacas, definiendo nuestras propias funciones.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

. Utilizamos la siguiente sintaxis, la palabra clave Solve,

seguida de paréntesis, y de dos llaves una con las ecuaciones (sustituye el igual por dos iguales “==”) separadas con comas y otra con las incógnitas (en este caso 3, x, y, z). En nuestro ejemplo, este sistema tiene una única solución que es (2, 0, -1).

Además, si observas la figura veras que hacemos uso del lenguaje de programación Yacas tanto para escribir el típico mensaje “Aprende Libre” como para definir una nueva función, más concretamente:


10.5.2 Maxima


10.5.2.1 Concepto. Características. Direcciones interesantes.

Máxima es un software para realizar cálculos matemáticos, simbólicos, así como gráficas y cálculo numérico. Su código, escrito en Lisp, está liberado con la licencia GPL y es multiplataforma, es decir disponemos de versiones para Windows, Linux y Mac OS.

Las direcciones más interesantes a tener en cuenta son: la página principal del proyecto, http://maxima.sourceforge.net/, su wiki http://maxima.sourceforge.net/wiki/ así como su centro de documentación http://maxima.sourceforge.net/docs.shtml donde encontrarás manuales en castellano y el manualico http://www.um.es/docencia/mira/manualico.html.


10.5.2.2 Instalación.

Para la instalación de Maxima debes dirigirte a http://maxima.sourceforge.net/download.shtml y descargarte la versión para Windows desde el enlace a SourceForge.

Al ejecutarlo obtendrás el típico asistente (Idioma, Aceptación del contrato, Carpeta de destino, Componentes e Iconos en el escritorio) del que sólo cabe reseñar si quieres quitar el soporte al Portugués, tal como se ilustra en la figura.

En linux instala los paquetes maxima, xmaxima y wxmaxima.


10.5.2.3 Veámoslo con algunos ejemplos.

Para iniciar en Windows el programa, sigue la secuencia Inicio, Todos los programas, Maxima-5.13.0, wxMaxima. En Linux se ejecuta tecleando wxmaxima en consola o K, Ciencia y Matemática, wxmaxima.

Su interfaz es bastante simple, consta de una caja titulada ENTRADA donde debes teclear las instrucciones, también puedes optar por botones de acceso rápido (Simplificar, Factorizar, etc.) o utilizando las opciones del menú principal.

Para empezar podrías probar estos cálculos:

  1. 210: escribe, 2^10


  1. :

  1. sin(%pi/2)^2+cos(%pi/2)^2

  1. i^2: %i^2

Observa que debe preceder a pi y a i el porcentaje “%”.


10.5.2.3.1 Cálculo de límites, derivadas, desarrollos de Taylor e integrales.

Si queremos calcular el límite lo primero sería escribir en el cuadro ENTRADA: describe(limit) donde nos mostrará una descripción de la función limit.

Calculemos por ejemplo:

Teclea limit(x*sin(1/x),x,0), es decir calcula el límite de la expresión x*sin(1/x), cuando la variable x se aproxima a 0 y obtendrás como resultado 0.

Sin embargo, una forma más elegante sería la siguiente:

  1. Define la función, utilizando los dos puntos y el igual, “:=”, así sería f(x):=x*sin(1/x).

  1. Calcula el límite, limit(f(x),x,0).

Si quieres dibujar la función, haz clic en Gráficos 2D…

Observa que debes indicar la función, así como el rango.

Así hemos dibujado la función que previamente habíamos definido entre [-1,1]. Comprueba que dicha función converge a cero.

Si calculamos con limit(sin(1/x),x,0) obtendremos ind, es decir, indefinido. Análogamente con limit(x,x, INF) obtendremos INF, es decir infinito.

Para calcular derivadas utilizamos diff<, así para derivar x*sin(x) lo realizamos con diff(x*sin(x),x) y obtendremos sin(x)+x cos(x). Si pretendemos calcular desarrollos en serie de taylor indicamos la función, la variable independiente, el punto o el centro y el orden: taylor(cos(x),x,0,6) y obtendremos


Si queremos calcular la integral indefinida debemos indicar la función y la variable: integrate(sin(x),x), obtendremos -cos(x). En cambio, si buscamos conocer el área o la integral definida entre los puntos 0 y 4, habrá que indicar los límites de integración como parámetros: integrate (sin(x), x, 0, 4), cuyo resultado es 1-cos(4).


10.5.2.3.2 Trabajando con funciones.

Obviamente Maxima tiene muchas funciones predefinidas, por ejemplo la función factorial, se define como f(x):=x!, y obtener el factorial de 3 simplemente escribiendo f(3). Otro ejemplo sería el cálculo de la raíz de cuatro, bastaría con escribir sqrt(4) para obtener 2. Si queremos trabajar con series, por ejemplo bastaría con escribir f(x):=sum(x, x, 1, 5), si quieres evaluar dicha función en un punto determinado, por ejemplo 2, escribe f(2) y obtendrás 15.


10.5.2.3.3 Expandiendo, simplificando y factorizando.

Veamos más ejemplos de la potencia de Maxima. Sea la función (x-2)2*(x+3), démosle un nombre, f(x):=(x-2)^2 + (x+3) donde observa que ^2 equivale a elevar al cuadrado.

Podemos expandir la función, bien haciendo clic en el botón Expandir, bien escribiendo expand(f(x)), el resultado es x2 -3x + 7.

Si buscamos factorizar una función, utiliza el botón Factorizar o factor(x^5-13*x^4+67*x^3-171*x^2+216*x-108), obtendrás (x-3)3 * (x-2)2. Para simplificar, precisas el botón Simplificar, o utilizar ratsimp, por ejemplo, ratsimp((2*x^2+5*x+9)*(4*x+9)), el resultado es .

Para conocer las raíces, escribe solve(x^5-13*x^4+67*x^3-171*x^2+216*x-108=0) y obtendrás [x = 2, x = 3], es decir, tenemos dos raíces 2 y 3.


10.5.2.3.4 Resolución de ecuaciones.

Además de poder resolver ecuaciones complejas, por ejemplo x2 + 1 = 0, solve(x^2+1=0) nos devuelve -i y +i, podemos resolver sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, resolvamos esta ecuación:


Utilizamos algsys, escribe algsys([3*x-4*z=-2,4*y+3*z=1,x+6*y+5*z=8/3]) y obtendrás x=2/3, y=-1/2, z=1.

10.6. Representación de funciones con Gnuplot y KmPlot.


10.6.1 Gnuplot.


10.6.1.1 Concepto. Direcciones interesantes.

Gnuplot es una herramienta para dibujar gráficas de funciones, tiene derechos de copyrights pero es gratuita. Es una aplicación multiplataforma muy potente que te permite dibujar gráficos en 2D y en 3D.

Algunas direcciones interesantes son: la documentación de la propia Web oficial http://www.gnuplot.info/help.html, una extensa colección de ejemplos en http://gnuplot.sourceforge.net/demo_4.2/, herramientas en Gnu para estudiantes universitarios, http://es.tldp.org/Presentaciones/200304curso-glisa/gnuplot/curso-glisa-gnuplot-html/index.html y el curso de Gnu para cálculo científico http://computacion.cs.cinvestav.mx/~acaceres/courses/gnuplotCurso/gnuplotCurso.pdf,


10.6.1.2 Instalación.

Para su instalación visita la sección de descargas de la página oficial http://www.gnuplot.info/download.html, busca la sección “Gnuplot on sourceforge” y descarga la última versión estable en un archivo .zip, en la actualidad es gp422win32.zip. Descomprímela, ahora para poder ejecutar la aplicación navega al directorio donde lo hayas descomprimido, veras varios directorios: documentación, ejemplos, etc. El que ahora nos interesa es bin, navega hacia él y haz doble clic en wgnuplot.exe.

En Linux, se instala con los paquetes gnuplot, gnuplot-x11(interfaz gráfica) y gnuplot-doc (documentación) y se lanza en la consola escribiendo gnuplot.


10.6.1.3 Representación de funciones 2D.

La función más básica es plot, nuestro primer ejemplo sería plot(1/x), observa que en 0 no está definida. Prueba con otras funciones: seno, plot(sin(x)), coseno, plot(cos(x)), valor absoluto, plot(abs(x)), plot(x**2+3*x+1), etc. Observa en este último ejemplo que x2 se escribe x**2.


10.6.1.4 Personalizando la representación.

Vamos a dibujar una función , pero vamos a presentarla de una forma más profesional:

  1. Indiquemos el título: set title “Grafica de sin(1/x)*x”. Desgraciadamente no nos permite incluir acentos.

  2. Ahora definamos el rango de las x y las y: set xrange [-1:1], obsérvese que los valores son muy pequeños porque nos interesa observar el comportamiento cerca del 0 y set range [-1:1].

  3. Si la representación no es muy fina, quizás podríamos incluir más puntos con set samples 10000.

  4. Etiquetar los ejes de las x y de las y: set xlabel "Eje X de abscisas", set ylabel “Eje Y de ordenadas”.

  5. Representamos no solo la función sino también x y -x, al fin y al cabo no se “escapa” de [-1,1]: plot sin(1/x)*x, x, -x.

  1. Indicamos que dibuje en un corner en la parte superior izquierda la caja con las leyendas: set key left box.

Si utilizas la interfaz gráfica wgnuplot, todas estas opciones están disponibles a “clic de ratón” desde Axes, Chart y Styles.

10.6.1.5 Representación de funciones 3D y otras posibilidades.

La orden básica para dibujar funciones 3D es splot, y aquí mostramos un ejemplo: splot(2*(x**2+y**2)*exp(-x**2-y**2)). Sin embargo, precisaremos retocarlo para tener una gráfica aceptable.

Establecemos los rangos con: set xrange [-1:1], set yrange [-1:1].

Incrementaremos el número de puntos a representar: set isosamples 100,100.

También te permite realizar gráficas de puntos, incluso contamos con el directorio demo con varios archivos de datos. Para obtener este gráfico teclea: plot '../demo/world.dat'. Dicho archivo tiene el siguiente formato:

-92.32 48.24

-88.13 48.92

-83.11 46.27

-81.66 44.76

-82.09 42.29

-77.10 44.00

-69.95 46.92

-65.92 45.32

-66.37 44.25

[…]

Cambia ahora el estilo de la gráfica con set style data lines, veras un mapamundi. Tienes muchos tipos a tu alcance: points, linespoints, dots, impulses, steps, fsteps, histeps, boxes, boxerrorbars, boxxyerrorbars, vector, financebars, candlesticks, etc.

Finalmente para que no se pierda todo tu trabajo guárdalo con save “miGrafica.gp” y sal de la aplicación con exit. Cuando vuelvas a arrancar la aplicación, escribe load “miGrafica.gp” y lo tendrás todo como lo dejaste.


10.6.2 KmPlot.

KmPlot es otra alternativa, es básicamente una herramienta para representación de funciones para el entorno KDE y forma parte del proyecto educativo de KDE. Por tanto, sólo funcionará en Linux. Es tan sencilla de utilizar que no creemos que precises mucha más información, sin embargo puede serte útil visitar la dirección http://docs.kde.org/stable/es/kdeedu/kmplot/index.html.


10.6.2.1 Instalación.

La instalación más simple es instalar toda la suite educativa de KDE, el paquete kdeedu, aunque podrías optar por instalar sólo el paquete kmplot. Se lanza desde Aplicaciones, Educación, KmPlot o tecleando kmplot.


10.6.2.2 Algunas gráficas.

Basta con escribir la función en el cuadro de texto, por ejemplo en la figura de la izquierda hemos introducido la función logaritmo neperiano ln(x) y la exponencial exp(x). En la figura de la derecha, podemos observar las funciones trigonométricas clásicas: seno, coseno y tangente, sin(x), cos(x) y tan(x).


10.7. Edición de texto científico.

10.7.1 OpenOffice Math.

Para editar texto científico podemos utilizar un componente que nos ofrece OpenOffice, Math. Se trata de un editor de fórmulas y es una aplicación de apoyo a la hora de elaborar nuestros documentos. En los siguientes epígrafes aprenderemos a manejarla y crear nuestras fórmulas.


10.7.1.1 Interfaz de Math.

Math se lanza automáticamente dentro de las aplicaciones de OpenOffice, cuando le damos la instrucción de generar una fórmula. Esta opción se encuentra en el menú Insertar opción Objeto y posteriormente seleccionaremos Fórmula.

También podemos ejecutar Math individualmente; para ello la seleccionaremos en Windows desde Inicio, Todos los programas, OpenOffice.org 2.3, OpenOffice Math. Si eres usuario de Linux lo encontrarás en las Aplicaciones de oficina o directamente desde Ejecutar o en la consola, escribimos la orden oomath.

Al iniciar la aplicación se nos presenta la siguiente ventana, en ella disponemos de los mismos elementos que en cualquier otra aplicación: barra de estado, barras de herramientas, menús, etc.

A primera vista, nos llama la atención la ventana de Selección, desde la cual elegiremos la estructura de la fórmula que estamos generando a la par de ir ayudándonos en la creación de éstas.

Por otro lado, en la parte inferior de la aplicación, se encuentra la ventana de Comandos, que presentará las instrucciones utilizadas por Math para representar la fórmula introducida. Los resultados los iremos visualizando en la parte principal de la ventana de Math.

Si no te aparece la barra de Selección, haz clic en la entrada de menú Ver, Selección.


10.7.1.2 Editar fórmulas desde la ventana de selección.

Veamos cómo crear formulas ayudándonos de la ventana de selección; éstos son los pasos a seguir:

1.-Seleccionar la fórmula deseada desde la ventana de selección.

Ten en cuenta que en la parte superior de la ventana de selección elegiremos la categoría de la fórmula a introducir y según sea nuestra elección cambiará automáticamente la parte inferior de la ventana de selección, mostrándonos las posibilidades existentes para la categoría seleccionada.

Es aquí, en la parte inferior de la ventana donde seleccionamos nuestra fórmula. En el ejemplo hemos decidido realizar una fracción.

Ventana de comandos.

En la ventana de comandos de Math aparecerá el comando para dibujar la fracción y en la parte superior de la ventana aparecerá la fracción con dos recuadritos, como muestran las ilustraciones.

2.-Para rellenar los cuadritos con nuestros números o símbolos tendremos que sustituir las expresiones <?> por el número o símbolo deseado en la ventana de comandos.

En nuestro ejemplo utilizaremos el 5 y el 6, automáticamente se nos presenta la fórmula generada en la parte central de Math, como muestra la ilustración.

Además de la ventana de selección podemos elegir la categoría y el símbolo de la fórmula mediante el menú contextual, ya sabes pulsando con el botón derecho del ratón, cuando estemos situados en la ventana de comandos de Math.

Como apreciarás es bastante simple la generación de ecuaciones. Si deseas generar ecuaciones más complicadas, bastará con repetir el proceso expuesto y en su caso anidar las expresiones que estimes oportunas.

Introducción de símbolos especiales y letras griegas.

Si deseas introducir símbolos especiales o letras griegas haz clic en el icono para símbolos: Catálogo, para mostrar la ventana de inserción de símbolos. Desde ésta selecciona la categoría Especiales o Griegas, busca el símbolo que desees y haz clic en Aplicar.


10.7.1.3 Editar fórmulas desde la ventana de comandos.

Todas las operaciones que realizamos desde la ventana de selección podemos ejecutarlas desde la ventana de comandos, para ello bastará con saber manejar los comandos adecuados. Siguiendo este propósito se exponen a continuación los comandos más habituales, así como el resultado que obtendremos. Recuerda que toda esta información se encuentra en la ayuda de OpenOffice.


Operadores unarios y binarios:


Comandos escritos

Ventana de selección

Significado


Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

-

-a

Signo -


div

a÷b

División

-+

±a

Menos/Más


neg

¬a

NO booleano

+-

±a

Más/Menos


or o |

Avb

Operación booleana O

cdot

a.b

Multiplicación


Times

Axb

Multiplicación

Relaciones:


Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

< o lt

a<b

Menor que

<= o le

a≤b

Menor o igual a

<> o neq

a≠b

No es igual a

=

a=b

Ecuación

> o gt

a>b

Mayor que

>= o ge

a≥b

Mayor o igual a

>> o gg

No disponible

Mucho mayor que

approx

a≈b

Es aproximadamente igual a

divides

a|b

divide

ortho

a┴b

Es ortogonal a

parallel

a║b

Es paralelo a

Operadores de conjunto:


Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

emptyset

Ø

Conjunto vacío

in

aεA

Se encuentra en

Intersection

A∩B

Intersección de conjuntos

union

A U B

Unión de conjuntos

Funciones:

Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

abs

|x|

Valor absoluto

cos

Cos

Coseno

exp

Exp

Función exponencial general

fact

x!

Factorial

ln

Ln

Logaritmo natural

log

Log

Logaritmo general

sin

Sin

Seno

sqrt

Raíz cuadrada

tan

Tan

Tangente

Operadores:

Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

int

Integral

prod

Producto

sum

Suma

lim

limX

Límites

Atributos:

Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

acute

á

Acento agudo sobre un carácter

bold

B

Negrita

ital

I

Cursiva

overstrike

abc

Tachado

underline

abc

Subrayado

Otros:


Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

<?>

No disponible

Marcador de posición

exists

Cuantificador de existencia, existe al menos uno

forall

Cuantificador universal, para todos

im

Parte imaginaria de un número complejo

leftarrow

Flecha izquierda

re

Parte real de un número complejo

rightarrow

Flecha derecha

Paréntesis:


Comandos escritos

Ventana selección

Significado

(...)

(a)

Paréntesis normal izquierdo y derecho

[...]

[a]

Corchete izquierdo y derecho

lline ... rline

|a|

Línea vertical izquierda y derecha

ldline ... rdline

||a||

Líneas verticales dobles izquierda y derecha

lbrace ... rbrace

{a}

Llaves izquierda y derecha, llaves de conjunto

Formatos:


Comandos escritos

Ventana de selección

Significado

lsup

bx

Exponente a la izquierda

^ o sup o rsup

xb

Exponente a la derecha

lsub

bx

Subíndice izquierdo

_ o sub o rsub

xb

Subíndice derecho



10.7.1.4 Incluir nuestras fórmulas en nuestros documentos.

Normalmente Math será invocado desde otra aplicación, así que no tendremos la necesidad de exportar el archivo para luego importarlo en el documento. No obstante Math, permite la exportación a formato .pdf desde Archivo, Exportar o guardar sus ecuaciones en formato .odf, que sigue el estándar de documentos para aplicaciones ofimáticas, con Archivo, Guardar.


10.7.2. Kformula.

Si eres usuario de Linux tienes otra alternativa, KFormula. Es una aplicación de apoyo que podemos ejecutar desde otras aplicaciones como KWord o independientemente. Su objetivo es proporcionar un entorno amigable para incluir fórmulas matemáticas en nuestros documentos.

Lo primero que debes hacer es instalar KOffice, precisas los siguientes paquetes:

  • koffice: La suite KOffice.

  • koffice-doc-html: Documentación de la suite en formato HTML.

  • koffice-i18n-es: Para tener la suite en español.

Encontrarás la herramienta en Aplicaciones, Oficina, KFormula. La idea básica en la que se basa el funcionamiento de KFormula, para el diseño de nuestras fórmulas, es la de ir rellenando el cuadrito que nos presenta vacío con los símbolos, letras, operaciones, etc. que necesitemos. Para ayudarnos en nuestra labor, nos muestra una completa barra de herramientas, con las posibles estructuras de las fórmulas a formar.

10.8. Un servidor educativo WIMS sin despeinarse.

No podemos acabar el capítulo sin hacer referencia a esta Web de referencia, se encuentra en http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?lang=es y nos ofrece un número casi ilimitado de recursos: lecciones, calculadoras, puzzles, juegos, representaciones gráficas, etc. Pero es más que eso, nos encontramos con una plataforma para crear clases virtuales; no sólo te permite generar lecciones y exámenes, sino que permite individualizar las preguntas evitando que los alumnos estén “tentados” de copiarse.

Si no quieres utilizarlo online, puedes descargarte el LiveCD Knowims, desde la dirección http://wims.unice.fr/knowims/, es básicamente una versión de Knoppix con un servidor WIMS ya instalado, ¡No puede ser más sencillo! Consulta el capítulo de LiveCD para más información.

Observa en el escritorio un enlace al servidor WIMS, desde aquí puedes acceder a lecciones, aplicaciones, ejercicios, clases virtuales, documentos, etc. Aquí podemos destacar las secciones: Online calculators and plotters, Interactive exercises y Mathematical recreations, es decir, calculadoras, representación de funciones, ejercicios matemáticos interactivos y recreativos.

Aquí hemos optado por navegar a Online calculators and plotters y dentro de las muchas herramientas que nos ofrece seleccionamos Funcion calculator.

Hemos introducido una función y le hemos pedido bastantes cosas: derivadas, integrales, Taylor, gráfica, etc.

Observa los resultados en la siguiente pantalla.

Por supuesto enumerar las distintas posibilidades de esta herramienta sale del alcance de esta obra.

Para finalizar el capítulo te proponemos las siguientes direcciones Web, donde encontrarás numerosos recursos:


Dirección

Descripción

http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/

Recursos matemáticos

http://math2.org/math/es-tables.htm

Matemáticas agrupadas por categorías y en varios idiomas.

http://descartes.cnice.mecd.es/

Enlace al proyecto Descartes del Ministerio de Educación y Ciencia, imprescindible.

http://www.matematicas.net/

Portal matemático “El paraíso de las matemáticas” un sin fin de recursos.

http://www.xtec.es/~jcorder1/

Matemáticas básicas para primaria y ESO.

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/

Matemáticas recreativas.