4.2. Contando y calculando con el ábaco.

El ábaco es uno de las primeras herramientas que nuestros antepasados utilizaron para realizar cálculos sencillos (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) y es, en la actualidad, un excelente ejercicio para la mente y para enseñar y aprender las matemáticas más básicas.

El ábaco que utilizaremos es xmabacus que puedes instalar en Ubuntu desde Aplicaciones, Centro de software de Ubuntu, seleccionando e instalando xmabacus o en la consola (Aplicaciones, Accesorios, Terminal) tecleando sudo apt-get install xmabacus. Otra posibilidad es xabacus. Para la versión de Windows visita http://www.tux.org/~bagleyd/abacus.html y descarga el programa en el enlace xabacus at tux.org(http). No requiere instalación, basta con descomprimirlo en una carpeta de tu disco duro y lanzar wabacus.exe.

Normalmente construido de madera consiste en una serie de barras verticales y un travesaño horizontal que lo divide en dos secciones. En la zona o cubierta inferior se encuentran las bolas o cuentas que tienen como valor 1. En la superior, las cuentas o bolas que valen por 5. Observa en la figura que hemos contado doscientos siete (207) con dos cuentas inferiores (2) y una superior (5) en la varilla de las unidades y otras dos inferiores en la barra de las centenas (200). Luego, contemos: 2 + 5 + 200 = 207.

4.3. Calculando los divisores de un número.

Con los números naturales podemos realizar distintas operaciones: suma (+), resta (-), multiplicación (X) y división (/).

Ahora imagínate que quiero enviarle mi preciosa colección de 12 patitos a nuestro amigo chino. Tengo bolsas de todos los tamaños pero como soy un poco quisquilloso y maniático, me gustaría que en todas las bolsas viajen el mismo número de patitos y que, por supuesto, viajen todos y no sobre ninguno. ¿Cómo lo hago?

Por tanto podemos empaquetar 12 patitos en 1, 2, 3, 4, 6 y 12 bolsas sin que falten ni sobren patitos y en todas las bolsas viajan el mismo número de patitos: 12, 6, 4, 3, 2 y 1 respectivamente. ¡Ese es el concepto de divisor! En otras palabras, los divisores de un número son aquellos que lo dividen con resto cero. Si quisiéramos enviarlos en bolsas de 5, sería 12 dividido por 5 tendríamos el cociente 2 y el resto 2, es decir, en dos bolsas meteríamos 5 patitos pero nos faltan 2 que aunque se lo enviáramos a nuestro amigo en una tercera, ya no viajarían en el mismo número.

4.4. ¿Soy primo o si no quién soy?

Existen dos tipos de números:

* Primos: aquellos que solo tienen dos divisores distintos, él mismo y 1. Por ejemplo 1, 2, 3, 5, 7, etc. ¡No confundir con hacer el primo ni con el súper primo de Rajoy (www.elprimoderajoy.org)!

* Compuestos: los números que no son primos, es decir, además de tener como divisores a 1 y a sí mismo, tienen otros divisores, por ejemplo 6, 12, 14, 24, 32, etc.

¡Por cierto, me equivoqué no tengo 12 patitos sino 17! ¿Cómo podremos enviarle mi preciosa colección de 12 patitos a nuestro amigo chino en bolsas conteniendo siempre el mismo número de patitos? Pues solo podemos enviárselos en paquetes individuales (1 es divisor de 17) o en una única bolsa (17 es divisor de sí mismo).

4.5. Y a mí, ¿quién me factoriza?

Observa que como 90 termina en cero dividimos por 2 y obtenemos 45. Como la suma de las cifras o dígitos de 45 (4+5=9) es múltiplo de 3 dividimos por 3 y obtenemos 5, con lo que acabamos pues 5 es primo.

Las reglas de divisibilidad indican cuando un número es divisible. Un número es divisible por 2 si termina en par (0, 2, 4, 6, 8), por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3, por 5 si termina en 0 o en 5.

4.6. M.c.d y m.c.m.

Imagínate que queremos enviarle a nuestro amigo, no sólo 12 sino también 28 .

¿Cuál es el mayor número de bolsas que podemos enviarle suponiendo que queremos que en cada una haya el mismo número de cada clase? ¡Sí!, lo has adivinado 4 bolsas (el máximo común divisor) conteniendo cada una de ellas 3 patitos y 7 conejos.

4.7. Calculando potencias y raíces.

La potencia de un número es dicho número (que llamaremos base) multiplicado por sí mismo un cierto número de veces (que lo bautizaremos como exponente, ¡qué nombre más feo pobrecito!), se expresa así: base^exponente. Por ejemplo 2⁵=2*2*2*2*2=32 y se lee “dos elevado a cinco es 32”. Imagina que envío a mi amigo 7 paquetes con 7 bolsas cada una y, además, cada caja contiene 7 ¿Cuántos conejos le envío? Pues 7*7*7=7³=343. Por cierto, cualquier número elevado a 0 es 1: 2⁰=3⁰=4⁰=…=193843⁰=1, así si estás cansado de alguien y no quieres utilizar la expresión “multiplícate por cero” porque está muy vista, también puedes decirle “elévate a cero”.

La raíz cuadrada de un número es aquel que elevado al cuadrado es igual a nuestro número, más formalmente: si raíz²=número. Así las raíces de 4, 9, 16 y 25 son 2, 3, 4 y 5 respectivamente pues 2²=4, 3²=9, 4²=16 y 5²=25. La raíz enésima de un número es aquel cuya potencia enésima es igual a nuestro número, es decir, raízⁿ=numero.

4.8. Trabajando con números enteros.

4.9. Un mapa conceptual para domesticar los números.

Cuando estudiamos matemáticas nos enseñan los números naturales, enteros, reales, decimales, fraccionarios, etc. A veces, es difícil reconocer las relaciones que existen entre dichos conceptos y nos parecen lecciones o temarios inconexos sin relación alguna aparente. Los mapas conceptuales vienen en nuestro auxilio, a ayudarnos a organizar nuestro conocimiento, permitiéndonos un aprendizaje más constructivo y significativo, lo que nos permitirá resolver problemas específicos matemáticos o de la vida cotidiana.

Puedes utilizar lápiz y papel o utilizar programas como FreeMind (freemind.sourceforge.net), VYM (www.insilmaril.de/vym, no disponible para Windows), CMapTools (cmap.ihmc.us), Visual Understanding Environment (vue.tufts.edu), Dia (projects.gnome.org/dia), etc. Para ejemplificar utilizaremos FreeMind. Realiza los siguientes pasos:

1. Descárgalo e instálalo. En Windows navega a freemind.sourceforge.net y pulsa en download. En Ubuntu instala el paquete freemind o búscalo en el Centro de Software de Ubuntu.

¿Qué hemos realizado? Pues un mapa conceptual cuyo concepto central son los números reales. Éstos se clasifican en números irracionales (etc.) y en números racionales. A su vez los números racionales pueden ser enteros o fracciones, los enteros son los números naturales (1, 2, 3,…), el cero (0) y los negativos (-1, -2, -3,…) y las fracciones pueden ser propias (2/3, 1/2, 5/4) o impropias (5/6, 3/2, 7/4).

4.10. Los números tienen su historia…

4.10.1. Matemáticas recreativas

¿Qué son para ti los números? Para algunos es más que una representación abstracta o expresión de una cantidad. Para los pitagóricos los números eran el principio de todas las cosas y existe además una “ciencia metafísica” (pseudociencia), la numerología, que estudia el significado oculto de los números.

Cada número tiene además su historia: 0,1 son los elementos neutros para la suma y la multiplicación respectivamente; 2 es el único primo par; 7 el número perfecto obtenido con la suma del 3, lo divino (Dios, uno y trino) y 4 (lo terrenal); Π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (en pidays.jtey.com puedes calcular tu edad en años Π) y nadie puede escribir todas sus cifras decimales (bueno Chuck Norris sí); 0, 1, i y e quedan hermanados con la identidad de Euler (e^iΠ+1=0); la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen 1; el número áureo aparece en las proporciones de numerosos objetos de la naturaleza, el cuerpo humano, el arte, la arquitectura, etc.; 666 es el signo de la bestia, del anticristo; un gugol es un número como que muy grande (10¹⁰⁰), 13 (lo siento, doce más uno), 42 (la respuesta al sentido de la vida, el universo y todo lo demás). Por haber, hay hasta números imaginarios (i), vampiros (pueden ser expresados como producto de dos números, llamados colmillos, obtenidos a partir de sus dígitos: 1395=15*93, 2187=27*81), narcisistas (iguales a la suma de sus cifras elevadas a la potencia del número de sus dígitos: 370=3³+7³+0³,153=1³+5³+3³), omirp (primo cuyo reflejado especular –o al darse la vuelta- es también primo: 17, 71; 37, 73), capicúas (se leen igual de izquierda a derecha --> que de derecha a izquierda <-- : 181, 1551), eróticos (69, esto prefiero no explicarlo), perfectos (iguales a la suma de sus divisores propios: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14), triangulares (el resultado de sumar los naturales: 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3), felices (49, 97), cíclicos (142857), amigos, sociables, afectivos… Bueno, todo era para decir que: ¡las matemáticas son divertidas y mágicas!

4.10.2. Sistemas de numeración en la antigüedad.

Más interesante aún es conocer que existieron otros sistemas de numeración en la antigüedad diferente al sistema decimal actual. Con WolframAlpha podemos convertir un número dado a los sistemas de numeración romano, griego, maya y babilónico, incluso nos permite pasar de un sistema a otro (de romano a babilónico: XIX to Babylonian). En gwydir.demon.co.uk/jo/numbers además de los sistemas de numeración mencionados podremos pasar los números al sistema egipcio (no posicional), chino y árabe. Cuenta también con una sección dedicada a los métodos e instrumentos utilizados en la antigüedad para realizar cálculos.

El sistema de numeración griego es decimal como el nuestro pero con letras, así α, β, , δ,… representan el uno, el dos, el tres, el cuatro,… Para las decenas tenemos otras letras, así como, para las centenas.

Otros sistemas de numeración han sido bastante más complicados. En el sistema maya la base es el 20, los números se representan de abajo a arriba y hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1 en el primer nivel (20⁰, el punto es 1, la línea 5), 20 en el segundo (20¹, el punto es 20, la línea 20*5=100), 400 en el tercero (20², el punto es 400, la línea 400*5=2000). En el babilonio tenemos un sistema decimal hasta el 60 y sexagesimal a partir de dicho número.